Difference between revisions of "Theorem:$e$는 무리수이다."
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: $\displaystyle q!e=p(q-1)!=\sum_{k=0}^{q}\frac{q!}{k!}+\sum_{k=q+1}^{\infty}\frac{q!}{k!}$ | : $\displaystyle q!e=p(q-1)!=\sum_{k=0}^{q}\frac{q!}{k!}+\sum_{k=q+1}^{\infty}\frac{q!}{k!}$ | ||
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: $\displaystyle \sum_{k=q+1}^{\infty} \frac{q!}{k!}<\frac{1}{q+1}+\sum_{k=q+2}^{\infty} \frac{1}{k(k-1)}=\frac{2}{q+1}\leq 1$ | : $\displaystyle \sum_{k=q+1}^{\infty} \frac{q!}{k!}<\frac{1}{q+1}+\sum_{k=q+2}^{\infty} \frac{1}{k(k-1)}=\frac{2}{q+1}\leq 1$ | ||
이므로 $0<\displaystyle \sum_{k=q+1}^{\infty} \frac{q!}{k!}<1$이다. 따라서 양의 정수 $p,\ q$는 불가능하며, $e$는 무리수이다. | 이므로 $0<\displaystyle \sum_{k=q+1}^{\infty} \frac{q!}{k!}<1$이다. 따라서 양의 정수 $p,\ q$는 불가능하며, $e$는 무리수이다. | ||
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+ | == 참고 자료 == | ||
+ | * Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. | ||
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+ | [[Category:Mathematics]] |
Latest revision as of 22:25, 22 February 2023
$e$는 여러 정의를 가진다:
- $\displaystyle \log_e x=\int_1^x\frac{du}{u}$
- $\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
- $\displaystyle e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=2.71828\ 18284\cdots$
이 수는 무리수이다.
증명
양의 정수 $p,\ q$에 대해서 $\displaystyle e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=\frac{p}{q}$로 두자. 그런 다음 $q!e$를
- $\displaystyle q!e=p(q-1)!=\sum_{k=0}^{q}\frac{q!}{k!}+\sum_{k=q+1}^{\infty}\frac{q!}{k!}$
로 분리하면 $q!e$가 양의 정수이므로 $\displaystyle \sum_{k=q+1}^{\infty}\frac{q!}{k!}$도 양의 정수이다. 그러나
- $\displaystyle \sum_{k=q+1}^{\infty} \frac{q!}{k!}<\frac{1}{q+1}+\sum_{k=q+2}^{\infty} \frac{1}{k(k-1)}=\frac{2}{q+1}\leq 1$
이므로 $0<\displaystyle \sum_{k=q+1}^{\infty} \frac{q!}{k!}<1$이다. 따라서 양의 정수 $p,\ q$는 불가능하며, $e$는 무리수이다.
참고 자료
- Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis.