Definition:몬티 홀 문제

세 선택지 중에 하나가 당첨 선택지라고 하자. 사회자는 어느 것이 당첨 선택지인지 알고 있다. 참가자가 선택지를 고르면 사회자는 당첨 선택지가 아닌 선택지를 하나 공개한다. 당첨 선택지와 사회자가 공개하는 선택지가 공정하게 무작위일 때, 참가자는 선택지를 바꾸는 것이 유리할까?

일반성을 잃지 않고 참가자가 첫 번째 선택지를 고른다고 가정하자. 그러면 다음 네 가지 가능한 경우가 있다:

• 1. 당첨 선택지가 첫 번째 선택지이면 사회자는 두 번째 선택지를 공개할 수 있다. 이렇게 전개될 확률은 1/6이다.
• 2. 당첨 선택지가 첫 번째 선택지이면 사회자는 세 번째 선택지를 공개할 수 있다. 이렇게 전개될 확률은 1/6이다.
• 3. 당첨 선택지가 두 번째 선택지이면 사회자는 세 번째 선택지를 공개해야 한다. 이렇게 전개될 확률은 1/3이다.
• 4. 당첨 선택지가 세 번째 선택지이면 사회자는 두 번째 선택지를 공개해야 한다. 이렇게 전개될 확률은 1/3이다.

사회자가 두 번째 선택지를 공개했다면 가능한 경우는 1과 4 중 하나이며, 4일 확률이 두 배 더 높다. 사회자가 세 번째 선택지를 공개했다면 가능한 경우는 2와 3 중 하나이며, 3일 확률이 두 배 더 높다. 이를 Monty Hall problem(몬티 홀 문제)라고 한다.

조건을 바꾸면

편견 있는 사회자

참가자가 첫 번째 선택지를 고르고, 사회자가 가능하면 두 번째 선택지를 공개한다고 가정하자. 그러면 다음 세 가지 가능한 경우가 있다:

• 1. 당첨 선택지가 첫 번째 선택지이면 사회자는 두 번째 선택지를 공개한다. 이렇게 전개될 확률은 1/3이다.
• 2. 당첨 선택지가 두 번째 선택지이면 사회자는 세 번째 선택지를 공개해야 한다. 이렇게 전개될 확률은 1/3이다.
• 3. 당첨 선택지가 세 번째 선택지이면 사회자는 두 번째 선택지를 공개해야 한다. 이렇게 전개될 확률은 1/3이다.

사회자가 두 번째 선택지를 공개했다면 가능한 경우는 1과 3 중 하나이며, 두 확률은 같다. 사회자가 세 번째 선택지를 공개했다면 가능한 경우는 2밖에 없다.

더 많은 선택지

참가자가 첫 번째 선택지를 고르고, 네 선택지 중에 하나가 당첨 선택지라고 하자.

• 1. 당첨 선택지가 첫 번째 선택지이면 사회자는 두 번째 선택지를 공개할 수 있다. 이렇게 전개될 확률은 1/12이다.
• 2. 당첨 선택지가 첫 번째 선택지이면 사회자는 세 번째 선택지를 공개할 수 있다. 이렇게 전개될 확률은 1/12이다.
• 3. 당첨 선택지가 첫 번째 선택지이면 사회자는 네 번째 선택지를 공개할 수 있다. 이렇게 전개될 확률은 1/12이다.
• 4. 당첨 선택지가 두 번째 선택지이면 사회자는 세 번째 선택지를 공개할 수 있다. 이렇게 전개될 확률은 1/8이다.
• 5. 당첨 선택지가 두 번째 선택지이면 사회자는 네 번째 선택지를 공개할 수 있다. 이렇게 전개될 확률은 1/8이다.
• 6. 당첨 선택지가 세 번째 선택지이면 사회자는 두 번째 선택지를 공개할 수 있다. 이렇게 전개될 확률은 1/8이다.
• 7. 당첨 선택지가 세 번째 선택지이면 사회자는 네 번째 선택지를 공개할 수 있다. 이렇게 전개될 확률은 1/8이다.
• 8. 당첨 선택지가 네 번째 선택지이면 사회자는 두 번째 선택지를 공개할 수 있다. 이렇게 전개될 확률은 1/8이다.
• 9. 당첨 선택지가 네 번째 선택지이면 사회자는 세 번째 선택지를 공개할 수 있다. 이렇게 전개될 확률은 1/8이다.

사회자가 두 번째 선택지를 공개했다면 가능한 경우는 1, 6, 8 중 하나이며, 6 또는 8일 확률이 세 배 더 높다. 다른 선택지를 공개했어도 마찬가지이다.

참가자가 첫 번째 선택지를 고르고, 사회자가 두 번째 선택지를 공개했다고 가정하자. 참가자가 첫 번째 선택지를 그대로 유지하고 사회자가 선택지를 하나 더 공개하면 다음과 같다.

• 1. 당첨 선택지가 첫 번째 선택지이면 사회자는 세 번째 선택지를 공개할 수 있다. 이렇게 전개될 확률은 1/8이다. 앞에서 1을 둘로 나눈 것이다.
• 2. 당첨 선택지가 첫 번째 선택지이면 사회자는 네 번째 선택지를 공개할 수 있다. 이렇게 전개될 확률은 1/8이다. 앞에서 1을 둘로 나눈 것이다.
• 3. 당첨 선택지가 세 번째 선택지이면 사회자는 네 번째 선택지를 공개해야 한다. 이렇게 전개될 확률은 3/8이다. 앞에서 6에 해당한다.
• 4. 당첨 선택지가 네 번째 선택지이면 사회자는 세 번째 선택지를 공개해야 한다. 이렇게 전개될 확률은 3/8이다. 앞에서 8에 해당한다.

사회자가 세 번째 선택지를 공개했다면 가능한 경우는 1와 4 중 하나이며, 4일 확률이 세 배 더 높다. 사회자가 네 번째 선택지를 공개했다면 가능한 경우는 2와 3 중 하나이며, 3일 확률이 세 배 더 높다.

참가자가 세 번째 선택지로 바꾸고 사회자가 선택지를 하나 더 공개하면 다음과 같다.

• 1. 당첨 선택지가 첫 번째 선택지이면 사회자는 네 번째 선택지를 공개해야 한다. 이렇게 전개될 확률은 4/16이다. 앞에서 1에 해당한다.
• 2. 당첨 선택지가 세 번째 선택지이면 사회자는 첫 번째 선택지를 공개할 수 있다. 이렇게 전개될 확률은 3/16이다. 앞에서 6을 둘로 나눈 것이다.
• 3. 당첨 선택지가 세 번째 선택지이면 사회자는 네 번째 선택지를 공개할 수 있다. 이렇게 전개될 확률은 3/16이다. 앞에서 6을 둘로 나눈 것이다.
• 4. 당첨 선택지가 네 번째 선택지이면 사회자는 첫 번째 선택지를 공개해야 한다. 이렇게 전개될 확률은 6/16이다. 앞에서 8에 해당한다.

사회자가 첫 번째 선택지를 공개했다면 가능한 경우는 2와 4 중 하나이며, 4일 확률이 두 배 더 높다. 사회자가 네 번째 선택지를 공개했다면 가능한 경우는 1과 3 중 하나이며, 1일 확률이 4/3배 더 높다. 선택지를 바꾼 것이 다음 선택을 더 어렵게 만들었지만, 여전히 또 바꾸는 전략이 유효하다.

결론

사회자의 선택이 무작위라는 상황이, 즉 사회자가 자신의 선택권을 신경 쓰지 않는다는 사실이 참가자가 더 유리한 선택을 할 수 있도록 만든다. 그러나 참가자 또한 그것을 바로 인지하기 어렵기 때문에 일어나지 않은 일이 일어난 일에 영향을 끼치는 것처럼 보일 수 있다. 이 경우에 당첨 선택지가 세 번째 선택지라는 가설의 신뢰도는 두 번째 선택지를 공개했다는 사실로부터 두 배로 증가한다. 유한한 선택지와 공정한 무작위가 보장되지 않는 많은 경우에, 신뢰성 있는 오답을 만날 때마다 자신의 답을 바꾸어갈수록 정답에 가까워진다고 일반화하여 볼 수는 없다.