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$G\to G$인 모든 isomorphism들은 이항 연산이 함수의 합성인 group을 이룬다. 항등원은 identity map이고 역원은 inverse morphism이며, 각 isomorphism이 $G$의 각 원소를 permute하므로 symmetric group의 어떤 subgroup과 isomorphic이다. 이를 $G$의 '''automorphism group'''(자기 동형군)이라 하고 $\Aut(G)$로 쓴다. 예를 들어 $(\Z/4\Z,\ +)$의 automorphism group을 구해 보겠다. regular representation에 대입하면 $\id_{\Z/4\Z},\ (1\ 2\ 3\ 0),\ (0\ 2)(1\ 3),\ (0\ 3\ 2\ 1)$에서 $(g_1+g_2)+a = (g_1+a)+(g_2+a)$를 만족하는 것은 $\id_{\Z/4\Z}$밖에 없다. group 연산을 보존하려면 $f(0)=0,\ f(n)=f(1)n$이어야 하므로 automorphism group의 모든 원소는 $x\mapsto a\times x$들 가운데에서 얻을 수 있다. 여기에서 $(3\ 1)$을 하나 더 얻으며, $\Z/n\Z$에 대해서 일반화하면 $\Aut(\Z/n\Z)=(\Z/n\Z)^{\times}$이다.
 
$G\to G$인 모든 isomorphism들은 이항 연산이 함수의 합성인 group을 이룬다. 항등원은 identity map이고 역원은 inverse morphism이며, 각 isomorphism이 $G$의 각 원소를 permute하므로 symmetric group의 어떤 subgroup과 isomorphic이다. 이를 $G$의 '''automorphism group'''(자기 동형군)이라 하고 $\Aut(G)$로 쓴다. 예를 들어 $(\Z/4\Z,\ +)$의 automorphism group을 구해 보겠다. regular representation에 대입하면 $\id_{\Z/4\Z},\ (1\ 2\ 3\ 0),\ (0\ 2)(1\ 3),\ (0\ 3\ 2\ 1)$에서 $(g_1+g_2)+a = (g_1+a)+(g_2+a)$를 만족하는 것은 $\id_{\Z/4\Z}$밖에 없다. group 연산을 보존하려면 $f(0)=0,\ f(n)=f(1)n$이어야 하므로 automorphism group의 모든 원소는 $x\mapsto a\times x$들 가운데에서 얻을 수 있다. 여기에서 $(3\ 1)$을 하나 더 얻으며, $\Z/n\Z$에 대해서 일반화하면 $\Aut(\Z/n\Z)=(\Z/n\Z)^{\times}$이다.
  
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집합 $X$에 대해서 $G$가 작용하는 함수 $\sigma:(g,\ x)\mapsto g\cdot_{\sigma}x$가 $e\cdot_{\sigma}x=x$이고 $g_1\cdot_{\sigma}(g_2\cdot_{\sigma}x)=(g_1g_2)\cdot_{\sigma}x$이면, 즉 각 $g$가 $X$의 각 원소를 permute하면 $\sigma:G\times X\to X$를 '''group action''' of $G$ on $X$라 하고 $X$를 '''$G$-set'''이라 한다. $g\cdot_{\sigma} x=x$는 '''trivial action'''이고 $G$의 regular representation은 $X=G$에서 $g\cdot_{\sigma}x=gx$인 경우이다. $G$의 automorphism들은 $X=G$에서 conjugation $g\cdot_{\sigma} x=gxg^{-1}$인 경우에 해당할 수 있다. 여기에 속하는 것을 $G$의 '''inner automorphism'''이라 하고 이들이 이루는 군을 $\operatorname{Inn}(G)$로 쓰며, quotient group $\Aut(G)/\operatorname{Inn}(G)$를 '''outer automorphism'''이라 하고 $\operatorname{Out}(G)$로 쓴다. group action은 group homomorphism $G\to S_X$를 정의하지만 관찰을 위해서 group homomorphism $G\to\Aut(X)$를 정의한다고 가정하고는 한다.<ref>https://math.stackexchange.com/questions/4514354/equivalent-definitions-of-a-group-acting-on-a-group</ref>
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집합 $X$에 대해서 $G$가 작용하는 함수 $\sigma:(g,\ x)\mapsto g\cdot_{\sigma}x$가 $e\cdot_{\sigma}x=x$이고 $g_1\cdot_{\sigma}(g_2\cdot_{\sigma}x)=(g_1g_2)\cdot_{\sigma}x$이면, 즉 각 $g$가 $X$의 각 원소를 permute하면 $\sigma:G\times X\to X$를 '''group action''' of $G$ on $X$라 하고 $X$를 '''$G$-set'''이라 한다. $g\cdot_{\sigma} x=x$는 '''trivial action'''이고 $G$의 regular representation은 $X=G$에서 $g\cdot_{\sigma}x=gx$인 경우이다. $G$의 automorphism들은 $X=G$에서 conjugation $g\cdot_{\sigma} x=gxg^{-1}$인 경우에 해당할 수 있다. 여기에 속하는 것을 $G$의 '''inner automorphism'''이라 하고 이들이 이루는 군을 $\operatorname{Inn}(G)$로 쓰며, quotient group $\Aut(G)/\operatorname{Inn}(G)$를 $G$의 '''outer automorphism'''이라 하고 $\operatorname{Out}(G)$로 쓴다. group action은 group homomorphism $G\to S_X$를 정의하지만 관찰을 위해서 group homomorphism $G\to\Aut(X)$를 정의한다고 가정하고는 한다.<ref>https://math.stackexchange.com/questions/4514354/equivalent-definitions-of-a-group-acting-on-a-group</ref>
  
 
== stabilizer와 orbit ==
 
== stabilizer와 orbit ==
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집합 $X$가 $G$-set일 때 각 $x\in X$에 대해서 $x$를 고정하여 $\sigma_x:G\to X,\ g\mapsto g\cdot_{\sigma}x$라 할 때 $\sigma_x(g)=x$인 $g$들의 집합을 $x$의 '''stabilizer subgroup''' 또는 isotropy subgroup이라 하고<ref>https://math.stackexchange.com/questions/3512025/soft-question-preference-between-isotropy-subgroup-and-stabiliser-subgroup</ref> 모든 $g\in G$에 대해서 $\sigma_x(g)$들의 집합을 $x$의 '''orbit'''(궤도)이라 한다. $x$의 stabilizer는 $G_x$로 쓰고 orbit은 $Gx$로 쓴다. $G_x$는 $G$의 부분 집합이고 $Gx$는 $X$의 부분 집합이다. $a,\ b\in X$에 대해서 $\sigma:G\times X\to X$가 $\sigma(g,\ a)=g\cdot_{\sigma}a=b$인 $g$가 있을 때 $a\sim b$라 하면 $e\cdot_{\sigma}a=a$이고, $g\cdot_{\sigma}a=b$이면 $g^{-1}\cdot_{\sigma}b=g^{-1}\cdot_{\sigma}(g\cdot_{\sigma}a)=a$이고, $g_1\cdot_{\sigma}a=b$이고 $g_2\cdot_{\sigma}b=c$이면 $(g_2g_1)\cdot_{\sigma}a=c$이다. 따라서 $\sim$는 동치 관계이고 그 equivalence class는 $X$ 전체를 분류한다. $X$의 한 원소와 이 동치 관계에 있는 $X$의 원소들을 모은 것이 orbit이므로 서로 다른 orbit은 서로 다른 원소를 가지고 모든 orbit들의 union은 $X$ 전체이다.
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$X$에 $G$가 작용할 때, 즉 $X$가 $G$-set이면 각 $g$가 $X$의 각 원소를 permute하는 group action $\sigma:G\times X\to X$가 주어진다. $x$를 고정하면 $\sigma_x:G\to X,\ g\mapsto g\cdot_{\sigma}x$에서
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$g\cdot_{\sigma}x=x$인 $g$들의 집합을 $x$의 '''stabilizer subgroup''' 또는 isotropy subgroup이라 하고<ref>https://math.stackexchange.com/questions/3512025/soft-question-preference-between-isotropy-subgroup-and-stabiliser-subgroup</ref> 모든 $g\in G$에 대해서 $g \cdot_{\sigma}x$들의 집합을 $x$의 '''orbit'''(궤도)이라 한다. $G$의 subgroup인 $x$의 stabilizer는 $G_x$로 쓰며 $X$의 subset인 $x$의 orbit은 $Gx$로 쓴다. $g\cdot_{\sigma}a=b$인 $g$가 있을 때 $a\sim b$라 하면 $e\cdot_{\sigma}a=a$이고, $g\cdot_{\sigma}a=b$이면 $g^{-1}\cdot_{\sigma}b=g^{-1}\cdot_{\sigma}(g\cdot_{\sigma}a)=a$이고, $g_1\cdot_{\sigma}a=b$이고 $g_2\cdot_{\sigma}b=c$이면 $(g_2g_1)\cdot_{\sigma}a=c$이다. 따라서 $\sim$는 동치 관계이고 그 equivalence class들은 $X$ 전체를 분류한다. $x$의 orbit은 $x\sim b$인 $b$들의 집합이므로 $\sim$의 한 equivalence class이다. 따라서 서로 다른 orbit은 서로 다른 원소를 가지고 모든 orbit들의 union은 $X$ 전체이다.
  
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$g_1\cdot_{\sigma} x=g_2\cdot_{\sigma} x$이면 $(g_2^{-1}g_1)\cdot_{\sigma} x=x$이므로 $g_2^{-1}g_1\in G_x$이다. 즉 $g_1 \in g_2G_x$이고 서로 다른 coset은 서로소이므로 $g_1G_x=g_2G_x$이다. $b \in Ga$이면 $g\cdot_{\sigma} a=b$인 $g_1,\ g_2,\ \cdots$들이 하나 이상 있고 $g_i\in gG_a$이다. 즉 모든 $g$에 대해서 $gG_a$는 $g\cdot_{\sigma} a\in Ga$에 대응한다. $b'\in Ga$이면 $g'\cdot_{\sigma} a=b'$인 $g'_i$들에 대해서 $g'_i\in g'G_a$라 할 때 $gG_a=g'G_a$를 가정하면 $g'^{-1}g\in G_a$이므로 $(g'^{-1}g)\cdot_{\sigma} a=a$이다. 따라서 $b=(g'g'^{-1}g)\cdot_{\sigma} a=g'\cdot_{\sigma} ((g'^{-1}g)\cdot_{\sigma} a)=b'$이고, 서로 다른 $b\in Ga$는 서로 다른 $gG_a$에 대응한다. 그러므로 $f:Gx\to G/G_x,\ \sigma_x(g)\mapsto gG_x$는 bijection이다. $G_x$는 $G$의 normal subgroup일 필요가 없으므로 $G/G_x$는 group일 필요가 없다. 그러나 coset들은 각각 같은 수의 원소를 가지므로 $|G|=|G:G_x||G_x|=|Gx||G_x|$이다. 즉 $|G|$가 유한할 때 $|Gx|$는 $|G|$의 약수이고, $|X|$가 유한할 때 $|X|$는 서로 다른 $Gx_i$들의 union이 $X$ 전체일 때 $\displaystyle \sum_{i} |G:G_{x_i}|$이다. 모든 $G_x$들의 intersection에 $e$밖에 없으면 $G$를 $X$ 위에서 '''faithful'''(충실한)이라 한다. 서로 다른 orbit이 유일하면 모든 $a,\ b\in X$에 대해서 $g\cdot_{\sigma} a = b$인 $g\in G$가 하나 이상 있고 $G$를 $X$ 위에서 '''transitive'''(추이적)라 한다.
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$g_1\cdot_{\sigma} x=g_2\cdot_{\sigma} x$이면 $(g_2^{-1}g_1)\cdot_{\sigma} x=x$이므로 $g_2^{-1}g_1\in G_x$이다. $g_1 \in g_2G_x$이고 서로 다른 coset은 서로소이므로 $g_1G_x=g_2G_x$이다. $b \in Ga$이면 $g\cdot_{\sigma} a=b$인 $g_1,\ g_2,\ \cdots$들이 하나 이상 있고 $g_i\in gG_a$이다. 모든 $g$에 대해서 $gG_a$는 $g\cdot_{\sigma} a\in Ga$에 대응한다. $b'\in Ga$이면 $g'\cdot_{\sigma} a=b'$인 $g'_i$들에 대해서 $g'_i\in g'G_a$라 할 때 $gG_a=g'G_a$를 가정하면 $g'^{-1}g\in G_a$이므로 $(g'^{-1}g)\cdot_{\sigma} a=a$이다. 따라서 $b=(g'g'^{-1}g)\cdot_{\sigma} a=g'\cdot_{\sigma} ((g'^{-1}g)\cdot_{\sigma} a)=b'$이고, 서로 다른 $b\in Ga$는 서로 다른 $gG_a$에 대응한다. 즉 $f:Gx\to G/G_x,\ \sigma_x(g)\mapsto gG_x$는 bijection이다. $G_x$는 $G$의 normal subgroup일 필요가 없으므로 $G/G_x$는 group일 필요가 없다. 그러나 coset들은 각각 같은 수의 원소를 가지므로 $|G|=|G:G_x||G_x|=|Gx||G_x|$이다. $|G|$가 유한할 때 $|G|$는 $|Gx|$로 나누어떨어지고 $|X|$가 유한할 때 $|X|$는 서로 다른 $Gx_i$들의 union이 $X$ 전체일 때 $\displaystyle \sum_{i} |G:G_{x_i}|$이다.
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모든 $G_x$들의 intersection에 $e$밖에 없으면 $G$를 $X$ 위에서 '''faithful'''(충실한)이라 한다. 서로 다른 orbit이 유일하면 모든 $a,\ b\in X$에 대해서 $g\cdot_{\sigma} a = b$인 $g\in G$가 하나 이상 있고 $G$를 $X$ 위에서 '''transitive'''(추이적)라 한다. $H$가 $G$의 subgroup이고 $g,\ x\in G$에 대해서 $g\cdot_{\sigma}xH=gxH$이면 $G_{xH}=H$이고 $G$는 $G/H$ 위에서 transitive이다. 따라서 $|G|=|G(xH)||G_{xH}|=|G:H||H|$이다.
  
 
=== Burnside's lemma ===
 
=== Burnside's lemma ===
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finite set $X$에 finite group $G$가 작용할 때 각 $g\in G$에 대해서 $g$를 고정하여 $\sigma_g:X\to X,\ x\mapsto g\cdot_{\sigma}x$라 하고 $\sigma_g(x)=x$인 $x$들의 집합을 $X_g$로 쓰면 $g\cdot_{\sigma}x=x$인 모든 $(g,\ x)$들의 개수는 $\displaystyle \sum_{g\in G}|X_g|$이고 이는 $\displaystyle \sum_{x\in X}|G_x|$와 같아야 한다. $|Gx|=|G|/|G_x|$이므로 $\displaystyle \sum_{x\in X}|G_x|=|G|\sum_{x\in X} 1/|Gx|$이다. $\displaystyle \sum_{x\in X} 1/|Gx|$는 서로 다른 $Gx$들이 각각 만드는 $1$들의 합이므로 서로 다른 orbit의 개수와 같고, 이는 $\displaystyle (1/|G|)\sum_{g\in G}|X_g|$이다.
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finite set $X$에 finite group $G$가 작용할 때 $g$를 고정하면 $\sigma_g:X\to X,\ x\mapsto g\cdot_{\sigma}x$에서 $g\cdot_{\sigma}x=x$인 $x$들의 집합을 $X_g$라 쓰고 $g$에 대한 제한을 풀어 $g\cdot_{\sigma}x=x$인 ordered pair $(g,\ x)$들의 개수를 $\displaystyle \sum_{g\in G}|X_g|=\sum_{x\in X}|G_x|$라 쓸 수 있다. $|Gx|=|G|/|G_x|$이므로 $\displaystyle \sum_{x\in X}|G_x|=|G|\sum_{x\in X} 1/|Gx|$이다. $\displaystyle \sum_{x\in X} 1/|Gx|$는 서로 다른 $Gx$들이 각각 만드는 $1$들의 합이므로 서로 다른 orbit의 개수와 같고 이는 $\displaystyle (1/|G|)\sum_{g\in G}|X_g|$이다.
  
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예를 들어 다섯 사람이 둥글게 앉는 서로 다른 방법의 개수가 서로 다른 orbit의 개수가 되도록 $X$와 $G$를 설계해 볼 수 있다. $|X|=5!$인 $X$에 대해서 다섯 사람의 배치를 뜻하는 각 원소 $x$에 군 $G$가 작용하였을 때 한 원소에서 얻을 수 있는 배치들을 그 원소와 동일한 배치로 취급하면 서로 다른 배치들의 개수는 서로 다른 orbit의 개수이다. 둥글게 앉을 때는 시계 방향이나 반시계 방향으로 한 자리씩 옮겼을 때 동일한 배치로 취급할 수 있다. 이를 그저 $X$에 order가 $5$인 cyclic group이 작용한다고 생각할 것이다. 그렇다면 $g\cdot_{\sigma} x$는 한 자리씩 옮기는 것처럼 해석할 수 있다. $|X_e|=|X|$이고 다른 $g^i\in G$들에 대해서 $|X_{g^i}|=0$이므로 서로 다른 orbit의 개수는 $5!/5=4!$이다.
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예를 들어 다섯 사람이 둥글게 앉는 서로 다른 방법의 개수가 서로 다른 orbit의 개수가 되도록 $X$와 $G$를 설계해 볼 수 있다. $|X|=5!$인 $X$에 대해서 다섯 사람의 배치를 뜻하는 각 원소 $x$에 군 $G$가 작용할 때 한 원소에서 얻을 수 있는 배치들을 그 원소와 동일한 배치로 취급하면 서로 다른 배치들의 개수는 서로 다른 orbit의 개수이다. 둥글게 앉을 때는 시계 방향이나 반시계 방향으로 한 자리씩 옮겼을 때 동일한 배치로 취급할 수 있다. 이를 그저 $X$에 order가 $5$인 cyclic group이 작용한다고 생각할 것이다. 그렇다면 $g\cdot_{\sigma} x$는 한 자리씩 옮기는 것처럼 해석할 수 있다. $|X_e|=|X|$이고 다른 $g^i\in G$들에 대해서 $|X_{g^i}|=0$이므로 서로 다른 orbit의 개수는 $5!/5=4!$이다.
  
 
== class equation ==
 
== class equation ==
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[[Theorem:실로우 정리|Sylow theorems]]에 따라서 '''Sylow $p$-subgroup'''(쉴로브 $p$-부분군, 실로우 $p$-부분군)을 생각할 수 있다.
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$g,\ x\in G$에 대해서 $g\cdot_{\sigma}x=gxg^{-1}$이면 $x$의 stabilizer를 $x$의 '''centralizer'''(중심화 부분군)라 하고 $x$의 orbit을 $x$의 '''conjugacy class'''(켤레류)라 한다. 즉 $G_x=\{g\in G\mid gx=xg\}$이므로 $x\in Z(G)$일 때 $|Gx|=|G|/|G_x|$에서 $|Gx|=1$이다. 따라서 서로 다른 $Gx_i$들의 union이 $G\setminus Z(G)$일 때 $\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum_{i} |G:G_{x_i}|$이며 이를 '''class equation'''이라 한다.
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$H$가 $G$의 subgroup이고 $g\in G$에 대해서 $g\cdot_{\sigma} H = gHg^{-1}$이면 $H$에는 $G$의 어떤 subgroup이든 올 수 있다. $H$의 stabilizer를 $H$의 '''normalizer'''(정규화 부분군)라 하고, 같은 orbit에 속하는 부분군들을 서로 '''conjugate'''라 한다. $G_H$의 원소는 $gHg^{-1}=H$인 $g$들이므로 $G_H$는 $H$가 normal subgroup인 가장 큰 $G$의 subgroup이다.
  
 
== 참고 자료 ==
 
== 참고 자료 ==

Latest revision as of 18:07, 22 July 2023

group의 cancellation property에 의해서, $g\in G$를 고정하였을 때 $G=\{gx\mid x\in G\}$는 각 원소를 permute하므로 함수 $x\mapsto gx$는 symmetric group의 한 원소이다. 그러한 permutation $g:G\to G$를 모든 $g$들에 대해서 생각할 수 있고 $G\to(G\to G)$의 kernel에 $e$밖에 없으므로 이는 monomorphism이다. 따라서 모든 group은 symmetric group의 어떤 subgroup과 isomorphic이다. 이를 Cayley's Theorem(케일리의 정리)이라 하고, 함수 $G\to(G\to G)$를 $G$의 regular representation(정칙 표현)이라고 한다. 이는 group을 singleton set에 대한 small category로 볼 때 Yoneda lemma의 특수한 경우이다.[1]

$G\to G$인 모든 isomorphism들은 이항 연산이 함수의 합성인 group을 이룬다. 항등원은 identity map이고 역원은 inverse morphism이며, 각 isomorphism이 $G$의 각 원소를 permute하므로 symmetric group의 어떤 subgroup과 isomorphic이다. 이를 $G$의 automorphism group(자기 동형군)이라 하고 $\Aut(G)$로 쓴다. 예를 들어 $(\Z/4\Z,\ +)$의 automorphism group을 구해 보겠다. regular representation에 대입하면 $\id_{\Z/4\Z},\ (1\ 2\ 3\ 0),\ (0\ 2)(1\ 3),\ (0\ 3\ 2\ 1)$에서 $(g_1+g_2)+a = (g_1+a)+(g_2+a)$를 만족하는 것은 $\id_{\Z/4\Z}$밖에 없다. group 연산을 보존하려면 $f(0)=0,\ f(n)=f(1)n$이어야 하므로 automorphism group의 모든 원소는 $x\mapsto a\times x$들 가운데에서 얻을 수 있다. 여기에서 $(3\ 1)$을 하나 더 얻으며, $\Z/n\Z$에 대해서 일반화하면 $\Aut(\Z/n\Z)=(\Z/n\Z)^{\times}$이다.

집합 $X$에 대해서 $G$가 작용하는 함수 $\sigma:(g,\ x)\mapsto g\cdot_{\sigma}x$가 $e\cdot_{\sigma}x=x$이고 $g_1\cdot_{\sigma}(g_2\cdot_{\sigma}x)=(g_1g_2)\cdot_{\sigma}x$이면, 즉 각 $g$가 $X$의 각 원소를 permute하면 $\sigma:G\times X\to X$를 group action of $G$ on $X$라 하고 $X$를 $G$-set이라 한다. $g\cdot_{\sigma} x=x$는 trivial action이고 $G$의 regular representation은 $X=G$에서 $g\cdot_{\sigma}x=gx$인 경우이다. $G$의 automorphism들은 $X=G$에서 conjugation $g\cdot_{\sigma} x=gxg^{-1}$인 경우에 해당할 수 있다. 여기에 속하는 것을 $G$의 inner automorphism이라 하고 이들이 이루는 군을 $\operatorname{Inn}(G)$로 쓰며, quotient group $\Aut(G)/\operatorname{Inn}(G)$를 $G$의 outer automorphism이라 하고 $\operatorname{Out}(G)$로 쓴다. group action은 group homomorphism $G\to S_X$를 정의하지만 관찰을 위해서 group homomorphism $G\to\Aut(X)$를 정의한다고 가정하고는 한다.[2]

stabilizer와 orbit

$X$에 $G$가 작용할 때, 즉 $X$가 $G$-set이면 각 $g$가 $X$의 각 원소를 permute하는 group action $\sigma:G\times X\to X$가 주어진다. $x$를 고정하면 $\sigma_x:G\to X,\ g\mapsto g\cdot_{\sigma}x$에서 $g\cdot_{\sigma}x=x$인 $g$들의 집합을 $x$의 stabilizer subgroup 또는 isotropy subgroup이라 하고[3] 모든 $g\in G$에 대해서 $g \cdot_{\sigma}x$들의 집합을 $x$의 orbit(궤도)이라 한다. $G$의 subgroup인 $x$의 stabilizer는 $G_x$로 쓰며 $X$의 subset인 $x$의 orbit은 $Gx$로 쓴다. $g\cdot_{\sigma}a=b$인 $g$가 있을 때 $a\sim b$라 하면 $e\cdot_{\sigma}a=a$이고, $g\cdot_{\sigma}a=b$이면 $g^{-1}\cdot_{\sigma}b=g^{-1}\cdot_{\sigma}(g\cdot_{\sigma}a)=a$이고, $g_1\cdot_{\sigma}a=b$이고 $g_2\cdot_{\sigma}b=c$이면 $(g_2g_1)\cdot_{\sigma}a=c$이다. 따라서 $\sim$는 동치 관계이고 그 equivalence class들은 $X$ 전체를 분류한다. $x$의 orbit은 $x\sim b$인 $b$들의 집합이므로 $\sim$의 한 equivalence class이다. 따라서 서로 다른 orbit은 서로 다른 원소를 가지고 모든 orbit들의 union은 $X$ 전체이다.

$g_1\cdot_{\sigma} x=g_2\cdot_{\sigma} x$이면 $(g_2^{-1}g_1)\cdot_{\sigma} x=x$이므로 $g_2^{-1}g_1\in G_x$이다. $g_1 \in g_2G_x$이고 서로 다른 coset은 서로소이므로 $g_1G_x=g_2G_x$이다. $b \in Ga$이면 $g\cdot_{\sigma} a=b$인 $g_1,\ g_2,\ \cdots$들이 하나 이상 있고 $g_i\in gG_a$이다. 모든 $g$에 대해서 $gG_a$는 $g\cdot_{\sigma} a\in Ga$에 대응한다. $b'\in Ga$이면 $g'\cdot_{\sigma} a=b'$인 $g'_i$들에 대해서 $g'_i\in g'G_a$라 할 때 $gG_a=g'G_a$를 가정하면 $g'^{-1}g\in G_a$이므로 $(g'^{-1}g)\cdot_{\sigma} a=a$이다. 따라서 $b=(g'g'^{-1}g)\cdot_{\sigma} a=g'\cdot_{\sigma} ((g'^{-1}g)\cdot_{\sigma} a)=b'$이고, 서로 다른 $b\in Ga$는 서로 다른 $gG_a$에 대응한다. 즉 $f:Gx\to G/G_x,\ \sigma_x(g)\mapsto gG_x$는 bijection이다. $G_x$는 $G$의 normal subgroup일 필요가 없으므로 $G/G_x$는 group일 필요가 없다. 그러나 coset들은 각각 같은 수의 원소를 가지므로 $|G|=|G:G_x||G_x|=|Gx||G_x|$이다. $|G|$가 유한할 때 $|G|$는 $|Gx|$로 나누어떨어지고 $|X|$가 유한할 때 $|X|$는 서로 다른 $Gx_i$들의 union이 $X$ 전체일 때 $\displaystyle \sum_{i} |G:G_{x_i}|$이다.

모든 $G_x$들의 intersection에 $e$밖에 없으면 $G$를 $X$ 위에서 faithful(충실한)이라 한다. 서로 다른 orbit이 유일하면 모든 $a,\ b\in X$에 대해서 $g\cdot_{\sigma} a = b$인 $g\in G$가 하나 이상 있고 $G$를 $X$ 위에서 transitive(추이적)라 한다. $H$가 $G$의 subgroup이고 $g,\ x\in G$에 대해서 $g\cdot_{\sigma}xH=gxH$이면 $G_{xH}=H$이고 $G$는 $G/H$ 위에서 transitive이다. 따라서 $|G|=|G(xH)||G_{xH}|=|G:H||H|$이다.

Burnside's lemma

finite set $X$에 finite group $G$가 작용할 때 $g$를 고정하면 $\sigma_g:X\to X,\ x\mapsto g\cdot_{\sigma}x$에서 $g\cdot_{\sigma}x=x$인 $x$들의 집합을 $X_g$라 쓰고 $g$에 대한 제한을 풀어 $g\cdot_{\sigma}x=x$인 ordered pair $(g,\ x)$들의 개수를 $\displaystyle \sum_{g\in G}|X_g|=\sum_{x\in X}|G_x|$라 쓸 수 있다. $|Gx|=|G|/|G_x|$이므로 $\displaystyle \sum_{x\in X}|G_x|=|G|\sum_{x\in X} 1/|Gx|$이다. $\displaystyle \sum_{x\in X} 1/|Gx|$는 서로 다른 $Gx$들이 각각 만드는 $1$들의 합이므로 서로 다른 orbit의 개수와 같고 이는 $\displaystyle (1/|G|)\sum_{g\in G}|X_g|$이다.

예를 들어 다섯 사람이 둥글게 앉는 서로 다른 방법의 개수가 서로 다른 orbit의 개수가 되도록 $X$와 $G$를 설계해 볼 수 있다. $|X|=5!$인 $X$에 대해서 다섯 사람의 배치를 뜻하는 각 원소 $x$에 군 $G$가 작용할 때 한 원소에서 얻을 수 있는 배치들을 그 원소와 동일한 배치로 취급하면 서로 다른 배치들의 개수는 서로 다른 orbit의 개수이다. 둥글게 앉을 때는 시계 방향이나 반시계 방향으로 한 자리씩 옮겼을 때 동일한 배치로 취급할 수 있다. 이를 그저 $X$에 order가 $5$인 cyclic group이 작용한다고 생각할 것이다. 그렇다면 $g\cdot_{\sigma} x$는 한 자리씩 옮기는 것처럼 해석할 수 있다. $|X_e|=|X|$이고 다른 $g^i\in G$들에 대해서 $|X_{g^i}|=0$이므로 서로 다른 orbit의 개수는 $5!/5=4!$이다.

class equation

$g,\ x\in G$에 대해서 $g\cdot_{\sigma}x=gxg^{-1}$이면 $x$의 stabilizer를 $x$의 centralizer(중심화 부분군)라 하고 $x$의 orbit을 $x$의 conjugacy class(켤레류)라 한다. 즉 $G_x=\{g\in G\mid gx=xg\}$이므로 $x\in Z(G)$일 때 $|Gx|=|G|/|G_x|$에서 $|Gx|=1$이다. 따라서 서로 다른 $Gx_i$들의 union이 $G\setminus Z(G)$일 때 $\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum_{i} |G:G_{x_i}|$이며 이를 class equation이라 한다.

$H$가 $G$의 subgroup이고 $g\in G$에 대해서 $g\cdot_{\sigma} H = gHg^{-1}$이면 $H$에는 $G$의 어떤 subgroup이든 올 수 있다. $H$의 stabilizer를 $H$의 normalizer(정규화 부분군)라 하고, 같은 orbit에 속하는 부분군들을 서로 conjugate라 한다. $G_H$의 원소는 $gHg^{-1}=H$인 $g$들이므로 $G_H$는 $H$가 normal subgroup인 가장 큰 $G$의 subgroup이다.

참고 자료

  1. ↑ https://math.stackexchange.com/questions/1701/yoneda-lemma-as-generalization-of-cayleys-theorem
  2. ↑ https://math.stackexchange.com/questions/4514354/equivalent-definitions-of-a-group-acting-on-a-group
  3. ↑ https://math.stackexchange.com/questions/3512025/soft-question-preference-between-isotropy-subgroup-and-stabiliser-subgroup
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