Theorem:$e$는 무리수이다.

$e$는 여러 정의를 가진다:

• $\displaystyle \log_e x=\int_1^x\frac{du}{u}$
• $\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
• $\displaystyle e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=2.71828\ 18284\cdots$

이 수는 무리수이다.

증명

양의 정수 $p,\ q$에 대해서 $\displaystyle e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=\frac{p}{q}$로 두자. 그런 다음 $q!e$를

$\displaystyle q!e=p(q-1)!=\sum_{k=0}^{q}\frac{q!}{k!}+\sum_{k=q+1}^{\infty}\frac{q!}{k!}$

로 분리하면 $q!e$가 양의 정수이므로 $\displaystyle \sum_{k=q+1}^{\infty}\frac{q!}{k!}$도 양의 정수이다. 그러나

$\displaystyle \sum_{k=q+1}^{\infty} \frac{q!}{k!}<\frac{1}{q+1}+\sum_{k=q+2}^{\infty} \frac{1}{k(k-1)}=\frac{2}{q+1}\leq 1$

이므로 $0<\displaystyle \sum_{k=q+1}^{\infty} \frac{q!}{k!}<1$이다. 따라서 양의 정수 $p,\ q$는 불가능하며, $e$는 무리수이다.