Definition:군

집합 $X$에 대해서 이항 연산 $\cdot :X\times X\to X$가 함수이고

1. 모든 $x,\ y,\ z\in X$에 대해서 $x\cdot y\cdot z$를 계산할 때 operator $\cdot$간에 순서를 바꿀 수 있다. (associative property)
2. 적어도 하나의 $e\in X$가 모든 $x\in X$에 대해서 $x\cdot e=e\cdot x=x$를 보장한다. (identity)
3. $x\cdot y$를 알 때 $x,\ y$ 중 하나를 알면 $x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=e$로 되돌릴 수 있다. (inverse)

를 만족시킬 때 $(X,\ \cdot)$을 group(군)이라고 한다. 정의는 같지만 덧셈에 관한 군 $(X,\ +)$과 곱셈에 관한 군 $(X,\ \cdot)$을 구분해서 쓰는 것이 관례이다. 덧셈에 관한 군의 identity는 $0$, 곱셈에 관한 군의 identity는 $1$로 쓴다. operand 간에 순서를 바꿀 수 있다. (commutative property)를 추가로 만족하면 덧셈에 관한 군일 때 abelian, 곱셈에 관한 군일 때 commutative group이라 한다. 특히 abelian group은 $\Z$에 대한 module로 해석되고는 한다.

group structure는 집합 $X$와 이항 연산 $\cdot$, 일항 연산 $^{-1}:X\to X$, 영항 연산 $e$로 이루어져 있다. identity 조건은 group에서 드러나는 각 원소 $x$의 성질을 $x$의 특징처럼 생각할 수 있게 한다. group을 singleton set에 대한 small category로 보면 inverse 조건은 모든 morphism을 isomorphism으로 만든다.

연산과 관련한 성질들

• identity 조건에 따라서 공집합은 군이 아니다. 가장 작은 군 $\{e\}$를 trivial group(자명군)이라고 한다.
• 다른 항등원 $e'$에 대해서 $x\cdot e'=x$에 $x=e$를 대입하고 $e\cdot x=x$에 $x=e'$를 대입하면 $e=e'$를 얻는다.
• 다른 역원 $x^{-I}$에 대해서 $x\cdot x^{-I}=e$의 앞에 $x^{-1}$를 연산하면 $x^{-I}=x^{-1}\cdot x\cdot x^{-I}$를 얻는다.
• 덧셈에 관한 군은 $nx$, 곱셈에 관한 군은 $x^n$을 쓸 수 있다.
• 곱셈에 관한 군일 때 $(x^{-1}yx)^n=x^{-1}y^{n}x$이다. 교환 법칙이 성립할 때 $x^ny^n=(xy)^n$이다.
• $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$이다. $xyx^{-1}y^{-1}=1$이면 교환 법칙이 성립한다. 즉 $x^2=1$이면 교환 법칙이 성립한다.
• $xy=xz$이면 $y=z$이다. 따라서 $x$를 고정하였을 때 $y\neq z$이면 $xy\neq xz$이다. (cancellation property)
• $z^{-1}xz=y$이면 $x=zyz^{-1}$이다. 따라서 $z^{-1}xz=e$이면 $x=e$이다.

부분군

• group $G$의 subset $H$가 동일한 연산에 대한 group이면 $G$의 subgroup(부분군)이라고 한다.
• $H$가 $G$의 subgroup이라는 것은 $x,\ y\in H$에 대해서 $xy^{-1}\in H$라는 뜻이다.
• subgroup들의 intersection에 있는 두 원소 $x,\ y$가 있는 모든 subgroup들에 $xy^{-1}$가 있을 것이므로 subgroup들의 intersection은 subgroup이다.
• $H,\ K$가 subgroup일 때 $HK=\{hk\mid h\in H,\ k\in K\}$가 subgroup이라는 것은 $HK=KH$라는 뜻이다. 증명은 다음과 같다: $HK$가 subgroup이면 $HKHK=HK$이고 $(HK)^{-1}=HK$이므로 $HK=KH$이다. $HK=KH$이면 $HKHK=HHKK=HK$이고 $(HK)^{-1}=KH=HK$이므로 $HK$가 subgroup이다.
• $(\Z,\ +)$의 subgroup이라는 것은 음이 아닌 정수 $n$에 대해서 $n\Z$라는 뜻이다. 증명은 다음과 같다: $(\Z,\ +)$의 subgroup에 $a$를 포함하면 정수 $k$에 대해서 $ka$들을 모두 포함해야 한다. $n$이 subgroup의 가장 작은 양수일 때 $\Z$의 모든 원소를 $nq+r$로 나타낼 수 있다. 따라서 $n$이 가장 작은 원소이면 $0<r<n$을 포함할 수 없으므로 $r=0$이어야 한다.

잉여류

• $H$가 $G$의 subgroup일 때 각 $g\in G$에 대해서 $gH=\{gh\mid h\in H\}$를 coset(잉여류)이라 한다. 모든 coset들을 모은 집합은 $G$를 같은 수로 분할하며 $G/H$라 쓴다. 예를 들어 $G=(\Z,\ +)$일 때 만일 $H=G$이면 모든 $g+H$는 $G$이므로 coset들을 모은 집합 $G/G$는 하나의 원소를 가진다. 만일 $H=3G$이면 모든 $g+H$는 $3\Z,\ 3\Z+1,\ 3\Z+2$ 가운데 하나이므로 coset들을 모은 집합 $\Z/3\Z$는 세 개의 원소를 가진다.
• $G/H$의 원소들의 합집합은 $G$이고, $G/H$의 서로 다른 coset들은 서로소이며 각각 같은 수의 원소를 가진다. 증명은 다음과 같다: $e\in H$이므로 모든 $g\in G$에 대해서 $g\in gH$이다. $g^{-1}$이 유일하므로 $H\to gH$는 bijection이다. $x\in G$가 두 coset에 있다면 $x=gh=g'h'$에서 $h,\ h'\in H$이고 $h'h^{-1},\ hh'^{-1}\in H$이다. $xh^{-1}=g=g'h'h^{-1},\ xh'^{-1}=ghh'^{-1}=g'$이므로 $g\in g'H,\ g'\in gH$이다. 즉 $gH\subset g'H,\ g'H\subset gH$이므로 $gH=g'H$이다.
• coset은 $gH=H$가 아닐 때 군이 아니지만 이항 연산 $gh\cdot_{gH}gh'=ghh'$에 대해서 군이다.
• $|G/H|$를 $|G:H|$로 쓰고 index of $H$ in $G$라 한다. $|G|$가 유한할 때 $|G|=|G:H||H|$이므로 $|H|$는 $|G|$의 약수이다. $|G|$가 무한할 때 coset $gH$를 $g$로 보내는 choice function $G/H\to G$를 만들 수 있다면, 즉 $\mathsf{AC}$를 받아들이면 마찬가지이다. 이를 군론에서의 Largrange's theorem(라그랑주의 정리)이라고 한다.
• $(\Z/p)^\times$는 order가 $p-1$인 group이므로 Largrange's theorem은 Fermat's little theorem을 증명한다.
• $H$가 $G$의 subgroup일 때 모든 $g\in G$에 대해서 $gH=Hg$, 즉 $gHg^{-1}=H$이면 $G/H$는 이항 연산 $gH\cdot_{G/H}g'H=(gg')H$에 대해서 quotient group(몫군)이 된다. 여기에서 $H$를 $G$의 normal subgroup(정규 부분군)이라 하고 $H\triangleleft G$로 쓴다.

기본적인 군들

순환군

• $|G|=n$이면 pigeonhole principle에 따라서 각 $g\in G$마다 $\langle g\rangle=\{1,\ g,\ g^2,\ \cdots,\ g^n\}$들 중에 적어도 두 개는 같아야 한다. $0\leq k\leq l\leq n$에서 $g^k=g^l$를 가정하면 $1=g^{l-k}$이다. $|G|$를 group $G$의 order(위수), $l-k$를 원소 $g$의 order라고 한다.
• 각 원소의 inverse ${(g^m)}^{-1}=g^{l-k-m}$가 있으므로 $\langle g\rangle=\{1,\ g,\ \cdots,\ g^{l-k-1}\}$는 $G$의 subgroup이다. 따라서 $|G|$는 $g$의 order로 나누어떨어지며 모든 $g\in G$에 대해서 $g^{|G|}=1$이다.
• $g$를 포함하는 subgroup들의 intersection $\langle g\rangle=\{g^i\}_{i\in\Z}$를 $g$가 generate하는 cyclic group(순환군)이라고 한다. 모든 cyclic group은 commutative group이며, $|G|$가 prime number이면 subgroup이 trivial group과 자기 자신밖에 없기 때문에 $G=\langle g\rangle$이다.

대칭군

집합 $X$에 대해서 모든 bijection $\sigma:X\to X$들은 이항 연산이 함수의 합성인 group을 이룬다. 이를 $X$의 symmetric group(대칭군)이라 하는데, 특히 $|X|=n$일 때 대칭군 $S_n$의 원소를 permutation이라 한다. cycle notation을 사용하여 모든 permutation을 2-cycle인 transposition의 합성으로 나타낼 수 있다:

$(x_0\ x_1\ \cdots\ x_n)=(x_0\ x_1)(x_1\ x_2)\cdots(x_{n-1}\ x_n)=(x_0\ x_n)(x_0\ x_{n-1})\cdots(x_0\ x_1)$

transposition의 개수가 홀수인지 짝수인지는 각 permutation마다 고유하게 정해져 있다. 전단사 함수 $\sigma$의 parity $\operatorname{sgn}\sigma=(-1)^k$는 transposition의 개수 $k$가 even일 때 $1$, odd일 때 $-1$이다. even permutation들의 집합을 alternating group(교대군)이라 하는데, 이는 symmetric group의 commutator subgroup으로 order가 $\displaystyle |A_n|=\frac{|S_n|}{2}=\frac{n!}{2}$이다.

알려져 있는 군들

• primitive n-th roots of unity $\mu_n$은 $e^{2\pi i/n}$이 generate하는 cyclic group을 이룬다. Klein four-group(클라인 4원군) $\mu_2\times\mu_2=\{1,\ -1\}\times\{1,\ -1\}$과 $\mu_4=\{1,\ -1,\ i,\ -i\}$는 isomorphic이 아니다. 여기에서 product에 주어지는 연산은 $(x_1,\ y_1)\times(x_2,\ y_2)=(x_1x_2,\ y_1y_2)$이다.
• finite simple groups, dihedral groups, dicyclic groups
• classical groups, Lie groups, simple Lie groups, point groups

group homomorphism

group $G,\ H$에 대해서 함수 $f:G\to H$의 모든 원소가

$g_1\mapsto h_1,\ g_2\mapsto h_2,\ g_1\cdot_G g_2\mapsto h_1\cdot_H h_2$

를 만족하면 group homomorphism(군 준동형사상)이라고 한다. $f(g_1,\ g_2)=(f(g_1),\ f(g_2))$으로 정의할 때 이는 다음 commutative diagram을 만족시킨다:

$f(g_1\cdot_G g_2)=f(g_1)\cdot_H f(g_2)\iff \require{AMScd}\begin{CD} G^2 @>{\cdot_G}>> G\\ @V f VV = @VV f V\\ H^2 @>{\cdot_H}>> H\end{CD}$

inverse morphism이 존재하면 isomorphism(동형 사상)이라고 하며 그러한 함수가 존재하는 두 group을 isomorphic(동형)이라 한다. 동형인 두 군을 $G\cong H$라 쓰고 군으로서 같다고 취급한다.

• homomorphism $f:G\to H$의 kernel은 $G$의 normal subgroup이고 image는 $H$의 subgroup이다.
• homomorphism의 kernel에 $e$밖에 없으면 $f(x)=f(y)$일 때 $f(x)\{f(y)\}^{-1}=e$에서 $xy^{-1}=e$이므로 monomorphism이다.
• homomorphism $f:G\to H$가 $G$의 generating set을 $H$의 generating set으로 옮기면 $f$가 epimorphism이다.
• group $G$가 cyclic이면 homomorphism $\varphi:G\to H$의 image $\varphi(g^n)=\varphi(g)^n$는 cyclic이다.
• group $G$에 대해서 homomorphism $\varphi:\Z\to G,\ n\mapsto g^n$의 kernel은 infinite cyclic group의 subgroup이다.
• $n\geq 2$일 때 $\operatorname{sgn}:S_n\to\mu_2$는 epimorphism이고 $\ker\operatorname{sgn}$은 alternative group이다.
• exponential $\exp:(\R,\ +)\to(\R_{>0},\ \cdot)$과 logarithm $\log:(\R_{>0},\ \cdot)\to (\R,\ +)$는 group isomorphism이다.
• identity map $\id_G:G\to G,\ g\mapsto g$는 group isomorphism이다.
• trivial map $e:G\to K,\ g\mapsto 1$은 group homomorphism이다.
• $H$가 $G$의 subgroup일 때 natural embedding $\iota:H\to G,\ h\mapsto h$는 monomorphism이다.
• $H$가 $G$의 subgroup일 때 group homomorphism $\varphi:G\to K$의 restriction $\varphi|_H:H\to K,\ h\mapsto \varphi(h)$는 homomorphism이다.

homomorphism의 정의는 category에 의존한다. 예를 들어 모든 함수는 set들의 category에서 homomorphism이지만, 정의역과 공역이 group을 이루지 않거나, group을 이루어도 두 group 사이에 연산을 보존하지 않으면 group들의 category에서 homomorphism이 아니다. homomorphism이 만족해야 하는 조건 또한 category에 따라서 다르다.

group action

group의 cancellation property에 의해서, $g\in G$를 고정하였을 때 $G=\{gx\mid x\in G\}$는 각 원소를 permute하므로 함수 $x\mapsto gx$는 symmetric group의 한 원소이다. 그러한 permutation $g:G\to G$을 모든 $g$들에 대해서 생각할 수 있고 $G\to(G\to G)$의 kernel에 $e$밖에 없으므로 이는 monomorphism이다. 따라서 모든 group은 symmetric group의 어떤 subgroup과 isomorphic이다. 이를 Cayley's Theorem(케일리의 정리)이라 하고, 함수 $G\to(G\to G)$를 $G$의 regular representation(정칙 표현)이라고 한다. 이는 group을 singleton set에 대한 small category로 볼 때 Yoneda lemma의 특수한 경우이다.

$G\to G$인 모든 isomorphism들은 이항 연산이 함수의 합성인 group을 이룬다. 항등원은 identity map이고 역원은 inverse morphism이며, 각 isomorphism이 $G$의 각 원소를 permute하므로 symmetric group의 어떤 subgroup과 isomorphic이다. 이를 $G$의 automorphism group(자기 동형군)이라 하고 $\Aut(G)$로 쓴다. 예를 들어 $(\Z/4\Z,\ +)$의 automorphism group을 구해 보겠다. regular representation에 대입하면 $\id_{\Z/4\Z},\ (1\ 2\ 3\ 0),\ (0\ 2)(1\ 3),\ (0\ 3\ 2\ 1)$에서 $(g_1+g_2)+a = (g_1+a)+(g_2+a)$를 만족하는 것은 $\id_{\Z/4\Z}$밖에 없다. group 연산을 보존하려면 $f(0)=0,\ f(n)=f(1)n$이어야 하므로 automorphism group의 모든 원소는 $x\mapsto a\times x$들 가운데에서 얻을 수 있다. 여기에서 $(3\ 1)$을 하나 더 얻으며, $\Z/n\Z$에 대해서 일반화하면 $\Aut(\Z/n\Z)=(\Z/n\Z)^{\times}$이다.

집합 $X$에 대해서 $G$가 작용하는 함수 $\sigma:(g,\ x)\mapsto g\cdot_{\sigma}x$가 $e\cdot_{\sigma}x=x$이고 $g_1\cdot_{\sigma}(g_2\cdot_{\sigma}x)=(g_1g_2)\cdot_{\sigma}x$이면, 즉 각 $g$가 $X$의 각 원소를 permute하면 $\sigma:G\times X\to X$를 group action of $G$ on $X$라 하고 $X$를 $G$-set이라 한다. $g\cdot_{\sigma} x=x$는 trivial action이고 $G$의 regular representation은 $X=G$에서 $g\cdot_{\sigma}x=gx$인 경우이다. $G$의 automorphism들은 $X=G$에서 conjugation $g\cdot_{\sigma} x=gxg^{-1}$인 경우에 해당할 수 있다. 여기에 속하는 것을 $G$의 inner automorphism이라 하고 이들이 이루는 군을 $\operatorname{Inn}(G)$로 쓰며, quotient group $\Aut(G)/\operatorname{Inn}(G)$를 outer automorphism이라 하고 $\operatorname{Out}(G)$로 쓴다. group action은 group homomorphism $G\to S_X$를 정의하지만 관찰을 위해서 group homomorphism $G\to\Aut(X)$를 정의한다고 가정하고는 한다.

finite group에서 group action은 counting에 쓰인다. 또한 transformation의 representation에 쓰인다.