Definition:위상 공간

집합 $X$의 모든 부분 집합에 boundary가 주어지면 공간 $X$에서 어떤 부분 집합이더라도 안과 밖을 나눌 수 있는 도형으로 취급할 수 있다. boundary를 부여하는 함수 $\partial:\mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(X)$는 모든 $A\subset X$에 대해서 다음을 만족시켜야 한다:

1. 경계의 경계는 경계를 벗어나지 못한다. 즉 $\partial \varnothing=\varnothing$이고 $\partial A\subset\partial(X-A)$이고 $\partial (A\cup \partial A)\subset \partial A$이다.
2. subset의 경계는 superset의 경계를 벗어나지 못한다. 즉 $A$의 subset의 경계는 $A\cup \partial A$의 subset이다.
3. 합집합의 경계는 생길 수 없으나 사라질 수 있다. 즉 합집합의 경계는 경계의 합집합의 subset이다.

이러한 $(X,\ \partial)$을 topological space(위상 공간)라고 한다. 집합 $X$의 각 subset의 boundary를 무엇으로 삼을지에 따라서 서로 다른 위상을 주면 서로 다른 위상 공간이다. 예를 들어 $\R^2$에서 사각형의 경계가 네 모서리인지는 주어진 위상에 따라서 다르다. 하지만 위상을 언급하지 않고 위상 공간 $\R^n$처럼 쓸 때에는 집합에 standard topology(표준 위상)가 주어진 것이다. 문맥에 따라서 적절한 common topology들이 있으며 이들을 편의상 생략해 쓰고는 한다.

위상 공간에는 separation axiom이나 metric, norm, inner product 등이 붙은 경우가 많다. 대표적으로 $\R^n$은 inner product를 가지며, 위상 공간만 있는 것보다 다채롭다. 위상은 이들을 받치는 뼈대라고 생각할 수도 있다.

open set

위상 공간 $X$의 topology(위상)를 정의하는 방법은 여러 가지이다. boundary를 부여하는 함수 $\partial$을 $X$의 위상이라고 할 수도 있다. 그런데 boundary, open set, closed set, neighborhood, closure, interior 등 위상 공간에서 나오는 기본 요소들 가운데 동치인 조건들로 하나만 정의하면 자연스럽게 나머지 모두를 정의할 수 있다. 일반적으로는 boundary를 가지고 있지 않은 집합, 즉 open set(열린 집합)들의 집합을 $X$의 위상이라고 한다. 조건이 간결하며 function을 만들기보다 집합의 원소를 직접 넣는 편이 편할 수도 있다.

1. $\varnothing,\ X$는 open set이다.
2. open set의 유한 교집합은 open set이다.
3. open set의 유한, 무한 합집합은 open set이다.

교집합과 합집합에 관한 조건이 다르다는 사실은 함수의 극한과 연결지을 수 있다. $\R^n$의 열린 집합 안에서는 어느 정도로만 움직이게 할 때 열린 집합을 벗어날 수 없도록 하는 작은 움직임을 정할 수 있지만, 닫힌 집합 안에서는 경계에 있다면 벗어날 수 있다.

boundary

• $\partial A\subset\partial(X-A)$의 $A$에 $X-A$를 대입하면 $\partial(X-A)\subset\partial A$이다. 즉 여집합의 경계는 일치하므로 $A\cap\partial A=\partial A$일 때 $(X-A)\cap\partial A=\varnothing$이다.
• $\partial A\subset A\cup\partial A$이므로 $A$에 $A\cup \partial A$를 대입하면 $\partial\partial A\subset (A\cup \partial A)\cup\partial(A\cup\partial A)$이다. $\partial (A\cup \partial A)\subset \partial A$에서 $\partial\partial A\subset A\cup\partial A$이고 $A$에 $X-A$를 대입하면 $\partial\partial A\subset (X-A)\cup\partial A$이므로 $\partial\partial A\subset \partial A$이다.
• $A\cap\partial A=\partial A$일 때 $X-A\subset X-\partial A$이므로 $\partial A\subset (X-\partial A)\cup\partial\partial A$이다. 그런데 $\partial A\cap (X-\partial A)=\varnothing$이므로 $\partial A\subset \partial\partial A$이고, 따라서 $\partial\partial\partial A=\partial\partial A$이다. $\partial A\neq \partial (A\cup\partial A)$일 수 있고 $\partial A\neq \partial (A-\partial A)$일 수 있음을 유의해야 한다.