Difference between revisions of "Definition:고유값과 고유벡터"
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: $\displaystyle \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} | : $\displaystyle \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} | ||
\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_1'(t) \\ x_2'(t) \\ \vdots \\ x_n'(t)\end{bmatrix}$ | \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_1'(t) \\ x_2'(t) \\ \vdots \\ x_n'(t)\end{bmatrix}$ | ||
| − | 미지수가 한 개일 때 $x'(t)=ax(t)$이므로 initial condition $x(0)=c$를 지정하면<ref>https://math.stackexchange.com/questions/395161/whats-the-difference-between-an-initial-value-problem-and-a-boundary-value-prob</ref> $x(t)=ce^{at}$이다. | + | 미지수가 한 개일 때 $x'(t)=ax(t)$이므로 initial condition $x(0)=c$를 지정하면<ref>https://math.stackexchange.com/questions/395161/whats-the-difference-between-an-initial-value-problem-and-a-boundary-value-prob</ref> $x(t)=ce^{at}$이다. $A$는 linear이므로 superposition principle에 따라서<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Superposition_principle</ref> $Ax(t)_1=x'(t)$이고 $Ax(t)_2=x'(t)$이면 $(c_1x(t)_1+c_2x(t)_2)'=c_1x'(t)_1+c_2x'(t)_2=c_1Ax(t)_1+c_2Ax(t)_2=A(cx(t)_1+c_2x(t)_2)$이다. |
== 대각화 == | == 대각화 == | ||
Revision as of 19:05, 6 February 2023
미지수가 $n$개인 연립미분방정식
- $\displaystyle \begin{cases} a_{11}x_1(t)+a_{12}x_2(t)+\cdots+a_{1n}x_n(t)=x_1'(t) \\a_{21}x_1(t)+a_{22}x_2(t)+\cdots+a_{2n}x_n(t)=x_2'(t) \\ \quad \vdots \\a_{n1}x_1(t)+a_{n2}x_2(t)+\cdots+a_{nn}x_n(t)=x_n'(t) \end{cases}$
은 다음과 같은 행렬로 나타낼 수 있다.
- $\displaystyle \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_1'(t) \\ x_2'(t) \\ \vdots \\ x_n'(t)\end{bmatrix}$
미지수가 한 개일 때 $x'(t)=ax(t)$이므로 initial condition $x(0)=c$를 지정하면[1] $x(t)=ce^{at}$이다. $A$는 linear이므로 superposition principle에 따라서[2] $Ax(t)_1=x'(t)$이고 $Ax(t)_2=x'(t)$이면 $(c_1x(t)_1+c_2x(t)_2)'=c_1x'(t)_1+c_2x'(t)_2=c_1Ax(t)_1+c_2Ax(t)_2=A(cx(t)_1+c_2x(t)_2)$이다.
대각화
참고 자료
- Gilbert Strang. Linear Algebra and Its Applications.
