Definition:복소 행렬, 대칭 행렬과 양의 정부호성

$z\in\C$의 길이는 $z=a+bi$일 때 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$이고 $v\in\C^n$의 길이는 $\|v\|=\sqrt{|v_1|^2+\cdots+|v_n|^2}$이다. $|z|^2=a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)$이므로 $\overline{z}=z^*=a-bi$라 하면 $\|v\|=\sqrt{v_1\overline{v_1}+\cdots+v_n\overline{v_n}}$이다. 모든 성분에 켤레를 취한 벡터나 행렬을 $\overline{v}$로 쓸 때 두 복소 벡터 $a,\ b$의 내적은 linearity in the first argument가 성립하는 $a^T\overline{b}$나 linearity in the second argument가 성립하는 $\overline{a^T}b=a^*b$로 정의할 수 있다. 둘 다 sesquilinear form이고 이 내적에 대한 전치 행렬은 $\overline{A^T}$이다. 즉 Hermitian adjoint가 conjugate transpose(켤레 전치)이며 이를 $A^H=A^*=A^{\dagger}=A^{+}$ 등으로 쓴다. $A^*=A$, 즉 self-adjoint인 행렬 $A$를 Hermitian matrix(에르미트 행렬)라 하고 $A^{-1}=A^*$인 행렬 $A$를 unitary matrix(유니터리 행렬)라 한다.

$A^*$의 determinant는 $\det \overline{A^T}=\det \overline{A}$에서 각 성분끼리 곱하고 더하여 계산하므로 $\det \overline{A}=\overline{\det A}$이다. $A$의 고유값이 $\lambda$일 때 $A^*$의 고유값은 $\det(\overline{A^T}-\lambda I)=\det\overline{(A-\overline{\lambda}I)^T}=\overline{\det(A-\overline{\lambda}I)}=0$의 해이고 $0$은 실수이므로 complex conjugate $\overline{\lambda}$이다. 실수 행렬의 고유값이 복소수 $\lambda$일 때 $\overline{Ax}=A\overline{x}=\overline{\lambda x}=\overline{\lambda}\overline{x}$이므로 켤레 $\overline{\lambda}$도 고유값이다.

Hermitian matrix $A$의 모든 고유값은 실수이므로 $c\neq 0$이면 $\det(A+ciI)\neq 0$이다. unitary matrix $Q$가 $(Q+cI)x=0$이라고 가정하면 $Qx=-cx$에서 $x^*x=x^*Q^*Qx=(-cx)^*(-cx)=\overline{c}cx^*x=|c|^2x^*x$이다. $|c|\neq 1$이면 $x=0$이어야 하므로 그러한 $Q+cI$의 null space에는 $0$밖에 없다. 따라서 unitary matrix는 모든 고유값의 절댓값이 $1$이고 복소 내적에 대해서 column들이 서로 직교하므로 triangular matrix가 diagonal matrix밖에 없다.

스펙트럼 분해

$A^*=A$이면 모든 벡터 $v$에 대해서 $(v^*Av)^*=v^*A^*v=v^*Av$는 허수 부분이 $0$이어야 하므로 실수이다. 이제 $Ax=\lambda x$를 가정하면 $x^*Ax=\lambda x^*x=\lambda \|x\|^2$도 실수이어야 하는데 $\|x\|^2$는 양수이므로 $\lambda$는 실수이다. 즉 Hermitian matrix의 모든 eigenvalue는 실수이며, 따라서 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터 $q_i$들이 서로 직교하므로 이들이 각 열을 이루는 unitary matrix $Q$에 대해서 $A=Q\Lambda Q^*$로 고유값 분해할 수 있다. $A_{ij}=\lambda_1q_{i1}\overline{q_{j1}}+\cdots+\lambda_n q_{in}\overline{q_{jn}}$에서 각 항을 고유값에 한 행렬을 곱한 것으로 볼 수 있고, 따라서 $A=\lambda_1 q_1q_1^*+\cdots+\lambda_n q_nq_n^*$이다. 이 일차 결합을 $A$의 spectral decomposition(스펙트럼 분해)이라고 하며, $q_iq_i^*$는 projection matrix이므로 다항식 $f$에 대해서 $f(A)=f(\lambda_1)q_1q_1^*+\cdots+f(\lambda_m)q_nq_n^*$이다.

실수 대칭 행렬의 모든 고유값은 실수이므로 $(A-\lambda I)x=0$의 해는 실수 행렬의 null space이고, 각 고유값에 대응하는 실수 고유벡터를 elimination으로 얻을 수 있다. 실수 대칭 행렬에 대응하는 이차 형식에서 spectral theorem은 principal axis theorem(주 축 정리)을 유도한다.

spectral decomposition은 Schur decomposition으로 볼 수 있다. 행렬 $A$가 주어지면 unitary matrix $Q$와 triangular matrix $A'$에 대해서 $A=QA'Q^{-1}$이므로 $A^*=A$이면 $A'^*=(Q^{-1}AQ)^*=Q^*A^*(Q^{-1})^*=Q^{-1}AQ$에서 $A'$는 diagonal matrix이다. 일반화하여 $AA^*=A^*A$이면 $A'=Q^{-1}AQ$도 $A'A'^*=Q^{-1}AQQ^{-1}A^*Q=Q^{-1}AA^*Q=Q^{-1}A^*AQ=A'^*A'$이며

$(A'A'^*)_{11}=|a_{11}|^2+\cdots+|a_{1n}|^2=(A'^*A')_{11}=|a_{11}|^2$이므로 $a_{12},\ \cdots,\ a_{1n}$은 모두 $0$이고, $(A'A'^*)_{22}=|a_{22}|^2+\cdots+|a_{2n}|^2=(A'^*A')_{22}=|a_{12}|^2+|a_{22}|^2=|a_{22}|^2$이므로 $a_{23},\ \cdots,\ a_{2n}$은 모두 $0$이고, ...

따라서 $A'$는 diagonal matrix이다. 즉 $AA^*=A^*A$이면 normal matrix이고 spectral decomposition을 할 수 있다. unitary matrix는 $(Qx)^*(Qy)=x^*y$이므로 서로 다른 고유값 $\lambda,\ \mu$에 대응하는 고유벡터 $x,\ y$가 $x^*y=\overline{\lambda}\mu x^*y$에서 $\overline{\lambda}\lambda=1$이므로 $x^*y=0$이어야 한다. skew-Hermitian matrix는 Hermitian matrix에 허수 $i$를 곱한 것으로 모든 고유값이 pure imaginary number이다.

참고 자료

• Gilbert Strang. Linear Algebra and Its Applications.
• Serge Lang. Linear Algebra.