Theorem:실로우 정리｜$p$가 소수이고 $p$와 $m$이 서로소일 때 order가 $p^am$인 group은 order가 $p^a$인 subgroup이 $pk+1$개 있고 이들은 서로 conjugate이며 $m$은 $pk+1$로 나누어떨어진다.

$p$가 소수이고 $p$와 $m$이 서로소일 때 음이 아닌 정수 $a$에 대해서 order가 $p^am$인 group이 있으면 order가 $p^a$인 subgroup이 $pk+1$개 있고 $m$은 $pk+1$로 나누어떨어진다.

$p$가 소수이고 $p$와 $m$이 서로소일 때 음이 아닌 정수 $a$에 대해서 order가 $p^am$인 group $G$가 있으면

• order가 $p^a$인 subgroup이 있다. 이를 $G$의 Sylow $p$-subgroup(쉴로브 $p$-부분군, 실로우 $p$-부분군)이라 한다.
• $P,\ Q$가 $G$의 Sylow $p$-subgroup이면 $P=gQg^{-1}$인 $g\in G$가 있다. 이를 $G$의 conjugate subgroup라 한다.
• $G$의 Sylow $p$-subgroup은 $pk+1$개 있고 $m$은 $pk+1$로 나누어떨어진다.

증명

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