Difference between revisions of "Theorem:실로우 정리｜$p$가 소수이고 $p$와 $m$이 서로소일 때 order가 $p^am$인 group은 order가 $p^a$인 subgroup이 $pk+1$개 있고 이들은 서로 conjugate이며 $m$은 $pk+1$로 나누어떨어진다."
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$p$가 소수이고 $p$와 $m$이 서로소일 때 음이 아닌 정수 $a$에 대해서 order가 $p^am$인 group $G$가 있으면 | $p$가 소수이고 $p$와 $m$이 서로소일 때 음이 아닌 정수 $a$에 대해서 order가 $p^am$인 group $G$가 있으면 | ||
* order가 $p^a$인 subgroup이 있다. | * order가 $p^a$인 subgroup이 있다. | ||
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| − | + | 이 subgroup들을 $G$의 '''Sylow $p$-subgroup'''(쉴로브 $p$-부분군, 실로우 $p$-부분군)이라 하고 이 사실들을 '''Sylow theorems'''라 한다. | |
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| − | ... | + | $X=\{A\subset G\mid |A|=p^a\}$가 $G$-set이고 $g\in G$에 대해서 $g\cdot_{\sigma}A=gA$일 때 $p$와 $\displaystyle {p^am \choose p^a}$는 서로소이므로 $p$와 $|X|$가 서로소이다. 따라서 $A$의 orbit들 가운데 원소의 개수가 $p$로 나누어떨어지지 않는 것이 있어야 한다. 그러한 orbit을 잡으면 $|G_A|$는 $|A|$의 약수이므로 $|G_A|=p^k$이고 $p^a$는 $|G_A|$에 $A$의 orbit의 원소의 개수를 곱한 것이므로 $|G_A|=p^a$이다. |
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| + | order가 $p^a$인 subgroup $H,\ H'$를 가정할 때 ... | ||
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Revision as of 02:58, 22 July 2023
$p$가 소수이고 $p$와 $m$이 서로소일 때 음이 아닌 정수 $a$에 대해서 order가 $p^am$인 group $G$가 있으면
- order가 $p^a$인 subgroup이 있다.
- 이들은 서로 conjugate이다.
- 이들이 $pk+1$개 있고 $m$은 $pk+1$로 나누어떨어진다.
이 subgroup들을 $G$의 Sylow $p$-subgroup(쉴로브 $p$-부분군, 실로우 $p$-부분군)이라 하고 이 사실들을 Sylow theorems라 한다.
증명
$X=\{A\subset G\mid |A|=p^a\}$가 $G$-set이고 $g\in G$에 대해서 $g\cdot_{\sigma}A=gA$일 때 $p$와 $\displaystyle {p^am \choose p^a}$는 서로소이므로 $p$와 $|X|$가 서로소이다. 따라서 $A$의 orbit들 가운데 원소의 개수가 $p$로 나누어떨어지지 않는 것이 있어야 한다. 그러한 orbit을 잡으면 $|G_A|$는 $|A|$의 약수이므로 $|G_A|=p^k$이고 $p^a$는 $|G_A|$에 $A$의 orbit의 원소의 개수를 곱한 것이므로 $|G_A|=p^a$이다.
order가 $p^a$인 subgroup $H,\ H'$를 가정할 때 ...
참고 자료
- 이인석. 선형대수와 군.
