Definition:군

집합 $X$에 대해서 이항 연산 $\cdot :X\times X\to X$가 함수이고

1. 모든 $x,\ y,\ z\in X$에 대해서 $x\cdot y\cdot z$를 계산할 때 operator $\cdot$간에 순서를 바꿀 수 있다. (associative property)
2. 적어도 하나의 $e\in X$가 모든 $x\in X$에 대해서 $x\cdot e=e\cdot x=x$를 보장한다. (identity)
3. $x\cdot y$를 알 때 $x,\ y$ 중 하나를 알면 $x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=e$로 되돌릴 수 있다. (inverse)

를 만족시킬 때 $(X,\ \cdot)$을 group(군)이라고 한다. 정의는 같지만 덧셈에 관한 군 $(X,\ +)$과 곱셈에 관한 군 $(X,\ \cdot)$을 구분해서 쓰는 것이 관례이다. 덧셈에 관한 군의 identity는 $0$, 곱셈에 관한 군의 identity는 $1$로 쓴다. operand 간에 순서를 바꿀 수 있다. (commutative property)를 추가로 만족하면 덧셈에 관한 군일 때 abelian, 곱셈에 관한 군일 때 commutative group이라 한다. 특히 abelian group은 $\Z$에 대한 module로 해석되고는 한다.

group structure는 집합 $X$와 이항 연산 $\cdot$, 일항 연산 $^{-1}:X\to X$, 영항 연산 $e$로 이루어져 있다. identity 조건은 group에서 드러나는 각 원소 $x$의 성질을 $x$의 특징처럼 생각할 수 있게 한다. group을 singleton set에 대한 small category로 보면 inverse 조건은 모든 morphism을 isomorphism으로 만든다.

연산과 관련한 성질들

• identity 조건에 따라서 공집합은 군이 아니다. 가장 작은 군 $\{e\}$를 trivial group(자명군)이라고 한다.
• 다른 항등원 $e'$에 대해서 $x\cdot e'=x$에 $x=e$를 대입하고 $e\cdot x=x$에 $x=e'$를 대입하면 $e=e'$를 얻는다.
• 다른 역원 $x^{-I}$에 대해서 $x\cdot x^{-I}=e$의 앞에 $x^{-1}$를 연산하면 $x^{-I}=x^{-1}\cdot x\cdot x^{-I}$를 얻는다.
• 덧셈에 관한 군은 $nx$, 곱셈에 관한 군은 $x^n$을 쓸 수 있다.
• 곱셈에 관한 군일 때 $(x^{-1}yx)^n=x^{-1}y^{n}x$이다. 교환 법칙이 성립할 때 $x^ny^n=(xy)^n$이다.
• $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$이다. $xyx^{-1}y^{-1}=1$이면 교환 법칙이 성립한다. 즉 $x^2=1$이면 교환 법칙이 성립한다.
• $xy=xz$이면 $y=z$이다. 따라서 $x$를 고정하였을 때 $y\neq z$이면 $xy\neq xz$이다. (cancellation property)
• $z^{-1}xz=y$이면 $x=zyz^{-1}$이다. 따라서 $z^{-1}xz=e$이면 $x=e$이다.

부분군

• group $G$의 subset $H$가 동일한 연산에 대한 group이면 $G$의 subgroup(부분군)이라고 한다.
• $H$가 $G$의 subgroup이라는 것은 $x,\ y\in H$에 대해서 $xy^{-1}\in H$라는 뜻이다.
• subgroup들의 intersection에 있는 두 원소 $x,\ y$가 있는 모든 subgroup들에 $xy^{-1}$가 있을 것이므로 subgroup들의 intersection은 subgroup이다.
• $H,\ K$가 subgroup일 때 $HK=\{hk\mid h\in H,\ k\in K\}$가 subgroup이라는 것은 $HK=KH$라는 뜻이다. 증명은 다음과 같다: $HK$가 subgroup이면 $HKHK=HK$이고 $(HK)^{-1}=HK$이므로 $HK=KH$이다. $HK=KH$이면 $HKHK=HHKK=HK$이고 $(HK)^{-1}=KH=HK$이므로 $HK$가 subgroup이다.
• $(\Z,\ +)$의 subgroup이라는 것은 음이 아닌 정수 $n$에 대해서 $n\Z$라는 뜻이다. 증명은 다음과 같다: $(\Z,\ +)$의 subgroup에 $a$를 포함하면 정수 $k$에 대해서 $ka$들을 모두 포함해야 한다. $n$이 subgroup의 가장 작은 양수일 때 $\Z$의 모든 원소를 $nq+r$로 나타낼 수 있다. 따라서 $n$이 가장 작은 원소이면 $0<r<n$을 포함할 수 없으므로 $r=0$이어야 한다.

잉여류

• $H$가 $G$의 subgroup일 때 각 $g\in G$에 대해서 $gH=\{gh\mid h\in H\}$를 coset(잉여류)이라 한다. 모든 coset들을 모은 집합은 $G$를 같은 수로 분할하며 $G/H$라 쓴다. 예를 들어 $G=(\Z,\ +)$일 때 만일 $H=G$이면 모든 $g+H$는 $G$이므로 coset들을 모은 집합 $G/G$는 하나의 원소를 가진다. 만일 $H=3G$이면 모든 $g+H$는 $3\Z,\ 3\Z+1,\ 3\Z+2$ 가운데 하나이므로 coset들을 모은 집합 $\Z/3\Z$는 세 개의 원소를 가진다.
• $G/H$의 원소들의 합집합은 $G$이고, $G/H$의 서로 다른 coset들은 서로소이며 각각 같은 수의 원소를 가진다. 증명은 다음과 같다: $e\in H$이므로 모든 $g\in G$에 대해서 $g\in gH$이다. $g^{-1}$이 유일하므로 $H\to gH$는 bijection이다. $x\in G$가 두 coset에 있다면 $x=gh=g'h'$에서 $h,\ h'\in H$이고 $h'h^{-1},\ hh'^{-1}\in H$이다. $xh^{-1}=g=g'h'h^{-1},\ xh'^{-1}=ghh'^{-1}=g'$이므로 $g\in g'H,\ g'\in gH$이다. 즉 $gH\subset g'H,\ g'H\subset gH$이므로 $gH=g'H$이다.
• coset은 $gH=H$가 아닐 때 군이 아니지만 이항 연산 $gh\cdot_{gH}gh'=ghh'$에 대해서 군이다.
• $|G/H|$를 $|G:H|$로 쓰고 index of $H$ in $G$라 한다. $|G|$가 유한할 때 $|G|=|G:H||H|$이므로 $|H|$는 $|G|$의 약수이다. $|G|$가 무한할 때 coset $gH$를 $g$로 보내는 choice function $G/H\to G$를 만들 수 있다면, 즉 $\mathsf{AC}$를 받아들이면 마찬가지이다. 이를 군론에서의 Largrange's theorem(라그랑주의 정리)이라고 한다.
• $(\Z/p)^\times$는 order가 $p-1$인 group이므로 Largrange's theorem은 Fermat's little theorem을 증명한다.
• $|G|$의 약수를 order로 가지는 subgroup이 없을 수도 있다. 그러나 $|G|$의 소인수를 order로 가지는 원소 $g$가 있고, $\langle g\rangle$는 $G$의 subgroup이다. 이를 군론에서의 Cauchy's theorem(코시의 정리)이라고 한다.

정규 부분군

• $G/H$가 이항 연산 $gH\cdot_{G/H}g'H=(gg')H$에 대해서 group을 이루려면 연산이 함수이어야 한다. 즉 정의역의 한 원소가 공역의 두 원소로 갈 수 없으므로 $g_1\neq g_2,\ g'_1\neq g'_2$일 때에도 $g_1H=g_2H$와 $g'_1H=g'_2H$에 대해서 $(g_1g'_1)H=(g_2g'_2)H$이어야 한다. 연산의 항등원을 $H$라 하고 $gH$의 역원을 $g^{-1}H$라 하면 $(g_2^{-1}g_1)H=H$와 $(g'^{-1}_2g'_1)H=H$에 대해서 $(g'^{-1}_2g^{-1}_2g_1g'_1)H=(g'^{-1}_2g'_1g'^{-1}_1g^{-1}_2g_1g'_1)H=H$이어야 한다. $gH=H$이면 $g\in H$이므로 어떤 $g_2^{-1}g_1=h\in H$와 $g'_1=g\in G$에 대해서 $g^{-1}hg\in H$이어야 한다.
• $H$가 $G$의 subgroup일 때 모든 $h\in H$와 $g\in G$에 대해서 $g^{-1}hg\in H$이면 $G/H$는 quotient group(몫군)이 된다. 여기에서 $H$를 $G$의 normal subgroup(정규 부분군)이라 하고 $H\triangleleft G$로 쓴다.
• $g^{-1}Hg\subset H$를 $g^{-1}=g'$로 대체하면 $g'Hg'^{-1}\subset H$이고 부분 집합에 $g$를 곱하여도 같거나 더 적은 원소를 얻어야 하므로 $H\subset g'^{-1}Hg'$이다. $g=g'^{-1}$로 대체하면 $g^{-1}Hg=H$이고 $H\subset gHg^{-1}$에서 $gHg^{-1}=H$이다. 따라서 $gH=Hg$이다.
• $G$가 commutative이면 모든 subgroup이 normal subgroup이고 subgroup $H$에 대해서 $G/H$도 commutative이다.
• 모든 $g\in G$에 대해서 $zg=gz$로 만드는 $z\in G$들의 집합을 $G$의 center $Z(G)$라고 한다. $a,\ b\in Z(G)$이면 $ag=ga,\ bg=gb$에서 $abg=agb=gab$이므로 $ab\in Z(G)$이다. $e\in Z(G)$이고 $z^{-1}(zg)z^{-1}=z^{-1}(gz)z^{-1}$에서 $gz^{-1}=z^{-1}g$이므로 $z^{-1}\in Z(G)$이다. $z_1z_2=z_2z_1$이므로 $Z(G)\triangleleft G$이다. 모든 automorphism $\varphi:G\to G$에 대해서 $z\in Z(G)$는 $\varphi(z)g=\varphi(z)\varphi(\varphi^{-1}(g))=\varphi(z\varphi^{-1}(g))=\varphi(\varphi^{-1}(g)z)=\varphi(\varphi^{-1}(g))\varphi(z)=g\varphi(z)$를 만족시킨다.
• $H$가 $G$의 subgroup일 때 $|G:H|=2$이면 $H \triangleleft G$이다. 증명은 다음과 같다: $G$는 $H$와 $aH\neq H$의 서로소 합집합이다. 모든 $h\in H$와 $g\in G$에 대해서 $g\in aH$일 때 $ghg^{-1}=ah'h(ah')^{-1}=ah'hh'^{-1}a^{-1}$이다. 이것이 $aH$에 속하면 $(h'hh'^{-1}a^{-1})^{-1}=ah'h^{-1}h'^{-1}\in H$이어야 하지만 이는 $aH$에 속하므로 $ghg^{-1}\in H$이다.
• natural projection $\pi:G\to G/H,\ x\mapsto xH$가 group epimorphism이 되려면 $H \triangleleft G$이어야 한다.

대표적인 군들

순환군

• $|G|=n$이면 pigeonhole principle에 따라서 각 $g\in G$마다 $\langle g\rangle=\{1,\ g,\ g^2,\ \cdots,\ g^n\}$들 중에 적어도 두 개는 같아야 한다. $0\leq k\leq l\leq n$에서 $g^k=g^l$를 가정하면 $1=g^{l-k}$이다. $|G|$를 group $G$의 order(위수), $l-k$를 원소 $g$의 order라고 한다.
• 각 원소의 inverse ${(g^m)}^{-1}=g^{l-k-m}$가 있으므로 $\langle g\rangle=\{1,\ g,\ \cdots,\ g^{l-k-1}\}$는 $G$의 subgroup이다. 따라서 $|G|$는 $g$의 order로 나누어떨어지며 모든 $g\in G$에 대해서 $g^{|G|}=1$이다.
• $g$를 포함하는 subgroup들의 intersection $\langle g\rangle=\{g^i\}_{i\in\Z}$를 $g$가 generate하는 cyclic group(순환군)이라고 한다. 모든 cyclic group은 commutative group이며, $|G|$가 prime number이면 subgroup이 trivial group과 자기 자신밖에 없기 때문에 $G=\langle g\rangle$이다.

대칭군

집합 $X$에 대해서 모든 bijection $\sigma:X\to X$들은 이항 연산이 함수의 합성인 group을 이룬다. 이를 $X$의 symmetric group(대칭군)이라 하는데, 특히 $|X|=n$일 때 대칭군 $S_n$의 원소를 permutation이라 한다. cycle notation을 사용하여 모든 permutation을 2-cycle인 transposition의 합성으로 나타낼 수 있다:

$(x_0\ x_1\ \cdots\ x_n)=(x_0\ x_1)(x_1\ x_2)\cdots(x_{n-1}\ x_n)=(x_0\ x_n)(x_0\ x_{n-1})\cdots(x_0\ x_1)$

transposition의 개수가 홀수인지 짝수인지는 각 permutation마다 고유하게 정해져 있다. 전단사 함수 $\sigma$의 parity $\operatorname{sgn}\sigma=(-1)^k$는 transposition의 개수 $k$가 even일 때 $1$, odd일 때 $-1$이다. even permutation들의 집합을 alternating group(교대군)이라 하는데, 이는 symmetric group의 commutator subgroup으로 order가 $\displaystyle |A_n|=\frac{|S_n|}{2}=\frac{n!}{2}$이다.

알려져 있는 군들

• primitive n-th roots of unity $\mu_n$은 $e^{2\pi i/n}$이 generate하는 cyclic group을 이룬다. Klein four-group(클라인 4원군) $\mu_2\times\mu_2=\{1,\ -1\}\times\{1,\ -1\}$과 $\mu_4=\{1,\ -1,\ i,\ -i\}$는 isomorphic이 아니다. 여기에서 product에 주어지는 연산은 $(x_1,\ y_1)\times(x_2,\ y_2)=(x_1x_2,\ y_1y_2)$이다.
• finite simple groups, dihedral groups, dicyclic groups
• classical groups, Lie groups, simple Lie groups, point groups