Definition:고유값과 고유벡터

미지수가 $n$개인 연립미분방정식

$\displaystyle \begin{cases} a_{11}x_1(t)+a_{12}x_2(t)+\cdots+a_{1n}x_n(t)=x_1'(t) \\a_{21}x_1(t)+a_{22}x_2(t)+\cdots+a_{2n}x_n(t)=x_2'(t) \\ \quad \vdots \\a_{n1}x_1(t)+a_{n2}x_2(t)+\cdots+a_{nn}x_n(t)=x_n'(t) \end{cases}$

은 다음과 같은 행렬로 나타낼 수 있다.

$\displaystyle \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_1'(t) \\ x_2'(t) \\ \vdots \\ x_n'(t)\end{bmatrix}$

미지수가 한 개일 때 $x'(t)=ax(t)$이므로 initial condition $x(0)=c$를 지정하면 $x(t)=ce^{at}$이다. $A$는 linear이므로 superposition principle에 따라서 $Ax(t)_1=x'(t)$이고 $Ax(t)_2=x'(t)$이면 $(c_1x(t)_1+c_2x(t)_2)'=c_1x'(t)_1+c_2x'(t)_2=c_1Ax(t)_1+c_2Ax(t)_2=A(cx(t)_1+c_2x(t)_2)$이다. 그러므로 $a$를 고정하여 해의 모든 성분이 $x_i(t)=c_ie^{at}$라 가정하고 연립미분방정식을 풀면 해가 존재하는 $a$들을 찾음으로써 그 합으로 $e^{\lambda t}$ 꼴의 모든 해를 찾을 수 있다. 이러한 $a=\lambda$들을 행렬 $A$의 eigenvalue(고유값)라 하고, 해 $x_i(t)=c_i e^{\lambda t}$에서 상수 $c_i$들로 이루어진, 고유값마다 대응하는 벡터 $c$를 $A$의 eigenvector(고유벡터)라 한다.

$x_1(t)=c_ie^{\lambda t}$를 단순히 $c_i$로 대체하면 $x_i'(t)=\lambda c_i e^{\lambda t}$이므로 연립미분방정식은 $Ac=\lambda c$로 쓸 수 있다. 따라서 $\lambda$는 $(A-\lambda I)c=O$를 만족시킨다. $c$는 $A-\lambda I$의 null space의 원소이므로 $c\neq 0$가 존재하려면 $\det(A-\lambda I)=0$이어야 한다. 행렬식을 전개하면 $\lambda$에 대한 다항식이며 이를 $A$의 characteristic polynomial(특성 다항식)이라고 한다. 따라서 $A$의 성분이 실수이더라도 $\lambda$는 복소수일 수 있다.

참고 자료

• Gilbert Strang. Linear Algebra and Its Applications.