복소 행렬, 대칭 행렬과 양의 정부호성

$z\in\C$의 길이는 $z=a+bi$일 때 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$이고 $v\in\C^n$의 길이는 $\|v\|=\sqrt{|v_1|^2+\cdots+|v_n|^2}$이다. $|z|^2=a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)$이므로 $\overline{z}=z^*=a-bi$라 하면 $\|v\|=\sqrt{v_1\overline{v_1}+\cdots+v_n\overline{v_n}}$이다. 모든 성분에 켤레를 취한 벡터나 행렬을 $\overline{v}$로 쓸 때 두 복소 벡터 $a,\ b$의 내적은 linearity in the first argument가 성립하는 $a^T\overline{b}$나 linearity in the second argument가 성립하는 $\overline{a^T}b=a^*b$로 정의할 수 있다. 둘 다 sesquilinear form이고 이 내적에 대한 전치 행렬은 $\overline{A^T}$이다. 즉 Hermitian adjoint가 conjugate transpose(켤레 전치)이며 이를 $A^H=A^*=A^{\dagger}=A^{+}$ 등으로 쓴다. $A^*=A$인 행렬 $A$를 Hermitian matrix(에르미트 행렬)라 하고 $A^{-1}=A^*$인 행렬 $A$를 unitary matrix(유니터리 행렬)라 한다.

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$A^*=A$이면 모든 벡터 $v$에 대해서 $(v^*Av)^*=v^*A^*v=v^*Av$이므로 $v^*Av$는 그 켤레와 동일하며, 따라서 실수이다. 이제 $Ax=\lambda x$를 가정하면 $x^*Ax=\lambda x^*x=\lambda \|x\|^2$이다. $A^*=A$이면 $x^*Ax$는 실수이고 $\|x\|^2$는 양수이므로 $\lambda$는 실수이다.

참고 자료

• Gilbert Strang. Linear Algebra and Its Applications.
• Serge Lang. Linear Algebra.