물리학의 기초와 경험적 근사들

직관에 호소하는 경험적인 법칙들로 시작할 필요는 없다. 그러나 여기로 한 번쯤은 들어온다. https://www.wiley.com/en-kr/Fundamentals+of+Physics%2C+Extended%2C+12th+Edition-p-9781119773474

base quantities

• $\text{s}$는 time T의 단위로 second라 한다. $^{133}_{\ \ 55}\text{Cs}$ atom의 unperturbed ground-state hyperfine transition frequency를 $9\ 192\ 631\ 770\ \text{s}^{-1}$로 정의한다.
• $\text{m}$는 length L의 단위로 metre라 한다. 진공에서 빛의 속도를 $299\ 792\ 458\ \text{m}/\text{s}$로 정의한다.
• $\text{kg}$은 mass M의 단위로 kilogram이라 한다. Planck constant를 $6.626\ 070\ 15\times 10^{-34}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\text{/s}$로 정의한다.
• $\text{A}$는 electric current I의 단위로 ampere라 한다. elementary charge를 $1.602\ 176\ 634\times 10^{-19}\ \text{A}\cdot\text{s}$로 정의한다.
• $\text{K}$는 thermodynamic temperature Θ의 단위로 kelvin이라 한다. Boltzmann constant를 $1.380\ 649\times 10^{-23}\ \text{J}/\text{K}=1.380\ 649\times 10^{-23}\ \text{kg}\cdot(\text{m}^2/\text{s}^{2})/\text{K}$로 정의한다.
• $\text{mol}$은 amount of substance N의 단위로 mole이라 한다. Avogadro constant를 $6.022\ 140\ 76\times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$로 정의한다.
• $\text{cd}$는 luminous intensity J의 단위로 candela라 한다. frequency가 $540\times 10^{12}\ \text{s}^{-1}$인 monochromatic radiation의 luminous efficacy를 $683\ \text{lm}/\text{W}=683\ \text{cd}\cdot\text{sr}/(\text{kg}\cdot(\text{m}^{2}/\text{s}^{2})/\text{s})$로 정의한다. $\text{sr}$는 dimensionless quantity 1의 단위로 $\text{sr}=1\ \text{m}^2/\text{m}^2$이다.

vector와 cross product

distance와 speed는 방향을 가지지 않으며 양수이다. displacement와 velocity는 방향을 가지고 음수일 수 있다. $\R^3$의 두 벡터 $a,\ b$와 사잇각 $\theta$에 대해서 $|a\times b| = |a||b|\sin\theta$이고 $a^T(a\times b)=b^T(a\times b)=0$인 pseudovector $a\times b$를 생각할 수 있다. 이때 주는 방향이 positively-oriented이면 right-hand rule을 따른다. 즉 오른손으로 $a$에서 $b$를 향해 네 손가락을 돌려 쥘 때 엄지 손가락의 방향이다. $a$에서 $b$로 향하는 방향이 반시계 방향이면 마주 보는 면의 앞을 향하고 $a$에서 $b$로 향하는 방향이 시계 방향이면 마주 보는 면의 뒤를 향한다. cross product의 각 성분은 해당하는 성분을 제외한 성분을 $a_1b_2-b_1a_2$로 계산한다. 이는 $\begin{pmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}$의 determinant이다.

motion with constant acceleration

등가속도 운동의 초기 속도를 $v_0$이라 할 때 $v(t)-v_0=at$이고 $x(t)-x_0=at^2/2+v_0t$이다. 여기에서 $(x(t)-x_0)/t=at/2+v_0$는 평균 속도이다. 두 식을 연립하면 $v^2(t)=a^2t^2-2av_0t+v_0^2=2a(x(t)-x_0)+v_0^2$이다. 따라서 등가속도 운동의 초기 위치를 $0$이라 할 때 다음을 알 수 있다:

• $x(t)$와 관계가 없으면 $v(t)-v_0=at$를 쓸 수 있다.
• $v(t)$와 관계가 없으면 $x(t)=at^2/2+v_0t$를 쓸 수 있다.
• $t$와 관계가 없으면 $v^2(t)=2ax(t)+v_0^2$를 쓸 수 있다.
• $a$와 관계가 없으면 $x(t)=(v(t)t+v_0t)/2$를 쓸 수 있다.
• $v_0$와 관계가 없으면 $x(t)=-at^2/2+v(t)t$를 쓸 수 있다.

$t$가 변수이므로 세 번째 식은 유용하다. 예를 들어 $x(t_1)=20$에서 $v(t_1)=10$이고 $x(t_2)=50$에서 $v(t_2)=0$이면 $v^2(t_1)=2ax(t_1)+v_0^2$에서 $100=40a+v_0^2$이고 $v^2(t_2)=2ax(t_2)+v_0^2$에서 $0=100a+v_0^2$이므로 $a=-5/3$이고 $v_0=\sqrt{500/3}$이다. $x(t_1)=(v(t_1)t_1+v_0 t_1)/2$에서 $40=10t_1+v_0t_1$이고 $x(t_2)=(v(t_2)t_2+v_0t_2)/2$에서 $100=v_0t_2$이므로 $t_1=2\sqrt{15}-6$이고 $t_2=2\sqrt{15}$이다. 검증하면 $x(t_1)=5t_1^2/6+v(t_1)t_1$에서 $20=80-20\sqrt{15}+10(2\sqrt{15}-6)$이고 $x(t_2)=5t_2^2/6+v(t_2)t_2$에서 $50=50$이다.

참고 자료

• David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fundamentals of Physics.