물리학의 기초와 경험적 근사들

https://www.wiley.com/en-kr/Fundamentals+of+Physics%2C+Extended%2C+12th+Edition-p-9781119773474

base quantities

• $\text{s}$는 time T의 단위로 second라 한다. $^{133}_{\ \ 55}\text{Cs}$ atom의 unperturbed ground-state hyperfine transition frequency를 $9\ 192\ 631\ 770\ \text{s}^{-1}$로 정의한다.
• $\text{m}$는 length L의 단위로 metre라 한다. 진공에서 빛의 속도를 $299\ 792\ 458\ \text{m}/\text{s}$로 정의한다.
• $\text{kg}$은 mass M의 단위로 kilogram이라 한다. Planck constant를 $6.626\ 070\ 15\times 10^{-34}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\text{/s}$로 정의한다.
• $\text{A}$는 electric current I의 단위로 ampere라 한다. elementary charge를 $1.602\ 176\ 634\times 10^{-19}\ \text{A}\cdot\text{s}$로 정의한다.
• $\text{K}$는 thermodynamic temperature Θ의 단위로 kelvin이라 한다. Boltzmann constant를 $1.380\ 649\times 10^{-23}\ \text{J}/\text{K}=1.380\ 649\times 10^{-23}\ \text{kg}\cdot(\text{m}^2/\text{s}^{2})/\text{K}$로 정의한다.
• $\text{mol}$은 amount of substance N의 단위로 mole이라 한다. Avogadro constant를 $6.022\ 140\ 76\times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$로 정의한다.
• $\text{cd}$는 luminous intensity J의 단위로 candela라 한다. frequency가 $540\times 10^{12}\ \text{s}^{-1}$인 monochromatic radiation의 luminous efficacy를 $683\ \text{lm}/\text{W}=683\ \text{cd}\cdot\text{sr}/(\text{kg}\cdot(\text{m}^{2}/\text{s}^{2})/\text{s})$로 정의한다. $\text{sr}$는 dimensionless quantity 1의 단위로 $\text{sr}=1\ \text{m}^2/\text{m}^2$이다.

lever

한쪽 끝을 눌러서 다른 한쪽을 들어올리는 machine을 지레라고 한다. 에너지 보존 법칙에 따르면 한쪽 끝에 1kg 추가 올려져 있을 때, 다른쪽 끝에 올린 것이 없음에도 추가 올려져 있는 쪽이 올라가 있을 수는 없다. 다른쪽 끝에 3kg 추가 올려져 있을 때, 받침점과 추 사이의 거리가 3:1이면 외부에서 약간의 힘을 주었을 때 한쪽 끝이 올라가 있을 수 있다. 외부에서 주는 힘의 위치에 따라서 다른쪽 끝이 올라가 있을 수도 있다. 만일 외부에서 힘을 주지 않았는데도 한쪽이 올라간다면 다른쪽도 마찬가지이며, 이는 영원히 운동할 수 있다는 뜻이다. 이러한 특성을 reversible(가역적)이라 하며, 가역적인 machine을 perpetual motion machine(영구 기관)이라고 한다.

받침점과 추 사이의 거리가 3:1이 아니면 가역적으로 운동할 수 없고, 이는 한쪽 끝이 올라갈 수 있는 높이가 3:1이 아니라는 의미이다. 즉 1kg 추를 어떤 높이만큼 들어올리게 하는 모든 machine은 3kg 추를 그 높이의 1/3 이상으로 직접 들어올려야 하며, 1kg 추를 어떤 높이만큼 직접 들어올리는 모든 machine은 3kg 추를 그 높이의 1/3 이하로 들어올리게 한다. 모든 가역적인 machine은 3kg 추를 그 높이의 1/3로 들어올려야 한다. 이는 gravitational energy가 무게와 높이의 곱임을 뜻한다. 추와 지면을 전하로 대체하면 potential은 질량과 가속도, 이동한 거리의 곱으로 표현할 수 있다는 사실을 알 수 있다.

마찰을 무시한 도르래 문제에서 평형을 이룬다는 것은 각 물체가 가만히 있다는 뜻이 아니라 각 물체를 가역적으로 이동시킬 수 있다는 뜻이다. 이를 푸는 방법은 한쪽의 높이와 다른쪽의 높이를 변화시켜 지레의 원리를 적용하는 것이다. principle of virtual work(가상적 일의 원리)는 Euler–Lagrange equation을 유도한다.

motion with constant acceleration

등가속도 운동의 초기 속도를 $v_0$이라 할 때 $v(t)-v_0=at$이고 $x(t)-x_0=at^2/2+v_0t$이다. 여기에서 $(x(t)-x_0)/t=at/2+v_0$는 평균 속도이다. 두 식을 연립하면 $v^2(t)=a^2t^2-2av_0t+v_0^2=2a(x(t)-x_0)+v_0^2$이다. 따라서 등가속도 운동의 초기 위치를 $0$이라 할 때 다음을 알 수 있다:

• $x(t)$와 관계가 없으면 $v(t)-v_0=at$를 쓸 수 있다.
• $v(t)$와 관계가 없으면 $x(t)=at^2/2+v_0t$를 쓸 수 있다.
• $t$와 관계가 없으면 $v^2(t)=2ax(t)+v_0^2$를 쓸 수 있다.
• $a$와 관계가 없으면 $x(t)=(v(t)t+v_0t)/2$를 쓸 수 있다.
• $v_0$와 관계가 없으면 $x(t)=-at^2/2+v(t)t$를 쓸 수 있다.

$t$가 변수이므로 세 번째 식은 유용하다. 예를 들어 $x(t_1)=20$에서 $v(t_1)=10$이고 $x(t_2)=50$에서 $v(t_2)=0$이면 $v^2(t_1)=2ax(t_1)+v_0^2$에서 $100=40a+v_0^2$이고 $v^2(t_2)=2ax(t_2)+v_0^2$에서 $0=100a+v_0^2$이므로 $a=-5/3$이고 $v_0=\sqrt{500/3}$이다. $x(t_1)=(v(t_1)t_1+v_0 t_1)/2$에서 $40=10t_1+v_0t_1$이고 $x(t_2)=(v(t_2)t_2+v_0t_2)/2$에서 $100=v_0t_2$이므로 $t_1=2\sqrt{15}-6$이고 $t_2=2\sqrt{15}$이다. 검증하면 $x(t_1)=5t_1^2/6+v(t_1)t_1$에서 $20=80-20\sqrt{15}+10(2\sqrt{15}-6)$이고 $x(t_2)=5t_2^2/6+v(t_2)t_2$에서 $50=50$이다.

projectile motion

물체를 지면에서 각도 $\theta$를 이루는 방향으로 초기 속도 $v_0$을 가지도록 발사할 때 수평 방향 속도 $(v_0)_x=v_0\cos\theta$와 수직 방향 속도 $(v_0)_y=v_0\sin\theta$에 대해서 $x(t)-x_0=(v_0\cos\theta)t$이고 $y(t)-y_0=(-g)t^2/2+(v_0\sin\theta)t$이다. $\displaystyle \frac{x(t)-x_0}{v_0\cos\theta}=t$이므로 $\displaystyle y(t)-y_0=\frac{(-g)(x(t)-x_0)^2}{2v_0^2\cos^2\theta}+(\tan\theta)(x(t)-x_0)$이다. 즉 projectile motion의 궤적은 $y=ax^2+bx$이므로 parabola이다. $y(t)-y_0=0$일 때 $\displaystyle \frac{(-\tan\theta)(2v_0^2\cos^2\theta)}{-g}=x(t)-x_0$에서 $(v_0^2\sin 2\theta)/g=x(t)-x_0$이다.

uniform circular motion

등속력 원운동을 밖에서 멈추어 관찰하면 각 순간에 접선 방향을 향해 등속도로 진행하는 물체가 centripetal force를 받는 것으로 보인다. 등속력 원운동하는 물체 위에서는 앞을 향해 등속도로 진행하는 물체가 centrifugal force를 받는 것으로 보인다. 이는 물체의 부분이 떨어져 나갔을 때 그 부분의 궤적을 생각해 보면 명확해진다. 등속력 원운동하는 물체 위에서는 관성계가 아니므로 관성계에서 원심력은 가상의 힘이다.

마찬가지로 등속력 자전하는 물체 위에서 자전 방향에 수직으로 다른 물체를 던졌을 때, 밖에서 멈추어 관찰하면 그 순간에 던진 방향에 더해서 자전의 접선 방향을 향해 등속도로 진행하는 것으로 보이지만 등속력 자전하는 물체 위에서는 저위도에 있는 사람의 속력이 고위도에 있는 사람의 속력보다 높으므로 Coriolis force를 받는 것으로 보인다. 북극을 관찰할 때 반시계 방향으로 자전하는 물체에 대해서 Coriolis force는 북반구에서는 오른쪽을, 남반구에서는 왼쪽을 향한다.

자유 낙하하는 물체 위에서는 아래를 향해 멈추어 있거나 등속도로 진행하는 것처럼 느끼는, 어떤 힘도 받지 않는 것으로 보이는 무중량 상태이다. equivalence principle에 따라서 아래를 향해 등가속도로 진행하는 물체가 inertial force를 받는 것으로 보이기 때문이다. 즉 관성계에서 관찰했을 때 관성계가 아닌 곳의 운동이 관성계가 아닌 곳에서 관찰했을 때 관성계인 곳의 운동으로 보일 수 있다. 이러한 관점에서 중력은 시공간의 곡률에 의한 관성력일 수 있다.

물체가 반지름 $r$을 가지는 원을 따라 반시계 방향으로 등속력 $v_0$을 가지고 원운동할 때 원의 중심을 원점이라 하면 물체의 위치가 $(x(t),\ y(t))=(r\cos (v_0 t/r),\ r\sin (v_0 t/r))$이다. 즉 $2\pi r/v_0$ 동안에 한 바퀴를 돈다. 물체의 속도는 $(x(t),\ y(t))'=(-v_0 \sin(v_0 t),\ v_0 \cos(v_0 t))$이고 물체의 가속도는 $(x(t),\ y(t))''=(-(v^2_0\cos(v_0 t))/r,\ -(v_0^2\ \sin(v_0 t))/r)$이다. 가속도의 방향은 위치에 음의 부호를 붙인 것이며 그 크기는 $\left(v^2_0\sqrt{\cos^2(v_0 t)+\sin^2(v_0 t)}\right)/r=v^2_0/r$이다. 속도의 수직 방향으로만 가속도를 받으므로 속도의 크기는 속력의 크기이다. 위치 벡터의 크기는 $r$로 일정하기 때문에 위치 벡터의 크기의 미분은 $0$이다.

friction

마찰력은 난해하므로 경험적인 관찰로부터 마찰 계수를 상수로 가정하여 근사할 수 있다. 이는 복합적인 현상들을 망라한 결과로 $F\propto v^2$ 또는 $F\propto v$로 근사될 수도 있다. 마찰력에 관한 하나의 예시로는 같은 종류의 두 물체를 원자 수준으로 매끄럽게 하여 진공 상태에서 접촉시켰을 때 잘 붙는 현상이 있다.

마찰 계수는 속력과 무관하다고 가정하며, 정지 마찰력의 최댓값은 운동 마찰력보다 큰 것으로 여겨진다. 둘 모두 그 크기가 normal force(수직 항력)에 비례한다고 여겨진다. 수직 항력은 물체가 지면을 누르는 힘의 반작용으로, 중력의 일부에서 기인한 힘일 수 있지만 어떤 힘에서든 기인할 수 있다.

terminal speed

drag force를 $F$라 할 때 공기의 밀도 $\rho$와 projected area $A$에 대해서 Buckingham π theorem으로부터 Reynolds number와 Mach number에 의존하는 drag coefficient $k$를 가정할 수 있고, flow velocity $v$에 대해서 $F=k\rho Av^2/2$이다. 여기에서 $1/2$을 곱하는 것은 공기가 $A$에 가하는 압력을 운동 에너지처럼 $\rho v^2/2$로 쓰기 위한 관례이다. 따라서 부력을 고려하지 않을 때 $F=m(-g)$로 서로를 상쇄하는 terminal speed $v$는 $\sqrt{2mg/(k\rho A)}$이다.

지구에서 $g=9.8\ \text{m/s}^2,\ \rho=1.2\ \text{kg/m}^3$으로 가정할 수 있으므로 반지름이 $0.0015\ \text{m}$이고 $k=0.6$인 빗방울의 종단 속력은 빗방울의 부피가 $4\pi r^3/3\ \text{m}^3$, 밀도가 $1000\ \text{kg/m}^3$, $A=\pi r^2\ \text{m}^2$이므로 $\sqrt{8(0.0015)(1000)(9.8)/((3)(0.6)(1.2))}=\sqrt{490/9}=7\sqrt{10}/3=7.378\ \text{m/s}$이다.

force and energy

distance와 speed는 방향을 가지지 않으며 양수이다. displacement와 velocity는 방향을 가지고 음수일 수 있다. 물체의 궤적을 파악하는 방법은 궤적의 각 순간을 분석하는 것이다. 각 순간의 일차 근사, 즉 differentiation(미분)을 정의하려면 distance 대신에 displacement가, speed 대신에 velocity가 필요하다. velocity의 시간 미분은 acceleration이다. 마찰을 무시하면 등속도 운동하는 물체는 영원히 등속도 운동하므로 물체의 속도는 관찰자에 의존한다고 보아도 좋다. 하지만 시간에 따른 속도의 변화, 즉 가속도가 있을 때에 물체의 운동을 생각하려면 관찰자에 따라서 fictitious force를 도입하여야 한다. 따라서 시간 변화에 대해서 근본적인 물리량을 얻으려면 속도보다는 가속도를 고려해야 한다고 추측할 수 있다. 앞에서 물체의 운동에 필요한 자원, 즉 energy는 물체의 질량과 가속도, 이동한 거리의 곱이었다. 에너지의 SI unit은 joule이다.

$1\ \text{J}=1\ \text{kg} \cdot (\text{m/s}^2)\cdot \text{m}$

각 좌표마다 높이나 온도를 할당시켜 에너지의 분포를 표현할 수 있듯이 각 위치 또는 상태에서의 시간에 따른 에너지의 분포가 주어지므로 물체의 운동을 분석하는 또 한 가지 방법은 물체의 운동에 필요한 에너지의 전달 과정에서 각 지점을 분석하는 것이다. energy의 공간 미분을 force라고 정의한다. 힘의 SI unit은 newton이다.

$F(x,\ t)=-\nabla E(x,\ t)$

즉 $F=ma$는 에너지의 공간 미분 벡터가 운동량 벡터의 시간 미분과 일치한다는 뜻이다. 위치 또는 상태 $x$를 나타내는 에너지 $E(x)$를 계의 potential이라고 한다. 물체의 변화에 의해서 potential로부터 얻는 에너지는 $\displaystyle \int_0^x F\ dx= \int_0^x m \frac{dv}{dt}\frac{dx}{dt} dt=\int_0^v mv\ dv=\frac{1}{2}mv^2$이다. 또는 $\displaystyle \int_0^x F\ dx=max$이고 등가속도 운동이라 가정할 때 $v^2=2ax$이므로 $\displaystyle max=\frac{1}{2}mv^2$이다. $E(x)$가 시간에 따라서 변하지 않으면 potential로부터 얻는 에너지는 물체의 변화로 벌어진 $E(0)$과 $E(x)$의 차이일 뿐이다. 이를 mechanical energy가 보존된다고 한다. force에서와 다르게 모든 속도는 상대 속도이므로 energy는 의미가 없으며 두 energy의 차이가 의미를 가진다.

center of mass

앞의 모든 계산에서는 물체가 공간 상의 한 점일 뿐이라는 가정을 해 왔다. 질량이 주어진 점들이 시간 변화에 대해서 보존하는 물리량이 에너지이고, 위치 변화에 대해서 보존하는 물리량이 momentum(운동량)이다. $F=ma$에 대해서 운동량은 $mv$에 해당하며, 이는 Newton's laws가 유도하는 운동량 보존 법칙에 따라서 속도보다 본질적이라고 여겨진다. 물체가 부피를 가진 rigid body이면 운동량 보존 법칙을 적용하기 위해서 위치 변화에 대해서 이 물체를 대체할 수 있는 공간 상의 한 점에 질량을 몰아 줄 수 있는데, 이 점을 center of mass(질량 중심)라 한다.

모든 속도는 상대 속도이므로 운동량은 의미가 없으며 두 운동량의 차이가 의미를 가진다. 이를 impulse(충격량)라고 하며, 힘의 시간 적분이기도 하다.

rotation

물체가 부피를 가진 rigid body이면 물체의 궤적에 변화가 없어도, 즉 외력의 합이 $0$이어도 물체 자체가 회전할 수 있다. 이때에도 물체가 공간 상의 한 점일 뿐이라고 가정하여 질량이 주어진 점들이 회전 변화에 대해서 보존하는, 각 점의 위치에 의존하는 angular momentum(각운동량)을 따로 가진다고 생각해 볼 수 있다. 이는 orbital angular momentum과 spin angular momentum의 합이다. 뉴턴의 제3 법칙에 추가적인 가정을 하여 각운동량 보존 법칙을 유도할 수 있으나 자연계에서는 Newton's laws보다 운동량 보존 법칙과 각운동량 보존 법칙이 본질적인 것처럼 보인다. Lagrangian mechanics와 Hamiltonian mechanics에서는 generalized coordinates에서 generalized momentum을 도입하여 symmetry라는 가정으로부터 보존 법칙을 유도한다.

다시 rigid body로 돌아오면, 각운동량 보존 법칙을 적용하기 위해서 회전 변화에 대해서 관성 모멘트를 도입하여 질량 중심이나 어느 한 점에 몰아 줄 수 있다. 각속도의 방향을 회전축으로 하여 회전 반경을 무한대로 보낼 때 angular momentum은 어쩌면 linear momentum을 포함한다. 전자와 같이 부피를 가지지 않는 한 점으로 간주되는 입자에 대해서는 관성 모멘트를 생각하지 않으나 양자화된 궤도 각운동량과 함께 spin angular momentum과 다른 의미의 스핀을 가진다.

$\R^3$의 두 벡터 $a,\ b$에 대해서 $a^T(a\times b)=b^T(a\times b)=0$이고 사잇각 $\theta$가 $\|a\times b\| = \sqrt{(b^Tb)(a^Ta)-(a^Tb)^2}=\|a\|\|b\|\sin\theta$를 만족하는 $\R^3$의 pseudovector $a\times b$를 두 벡터의 cross product라고 한다. 이를 벡터로 만들기 위해서 방향을 줄 수 있으며 positively-oriented일 때 right-hand rule을 따른다. 즉 오른손으로 $a$에서 $b$를 향해 네 손가락을 돌려 쥘 때 엄지 손가락의 방향이 $a\times b$의 방향이다. $a$에서 $b$로 향하는 방향이 반시계 방향이면 마주 보는 면의 앞을 향하고 $a$에서 $b$로 향하는 방향이 시계 방향이면 마주 보는 면의 뒤를 향한다. orthonormal basis가 주어졌을 때 기저의 방향은 양의 방향이므로 cross product $a\times b$의 각 성분은 해당하는 성분을 제외한 두 성분을 교대로 곱하여 부호를 붙이고 서로 더한 것과 같다.

참고 자료

• David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fundamentals of Physics.
• Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands. The Feynman Lectures on Physics.
• Leonard Susskind. Theoretical Minimum.