군 준동형사상

group $G,\ H$에 대해서 함수 $f:G\to H$의 모든 원소가

$g_1\mapsto h_1,\ g_2\mapsto h_2,\ g_1\cdot_G g_2\mapsto h_1\cdot_H h_2$

를 만족하면 group homomorphism(군 준동형사상)이라고 한다. $f(g_1,\ g_2)=(f(g_1),\ f(g_2))$으로 정의할 때 이는 다음 commutative diagram을 만족시킨다:

$f(g_1\cdot_G g_2)=f(g_1)\cdot_H f(g_2)\iff \require{AMScd}\begin{CD} G^2 @>{\cdot_G}>> G\\ @V f VV = @VV f V\\ H^2 @>{\cdot_H}>> H\end{CD}$

inverse morphism이 존재하면 isomorphism(동형 사상)이라고 하며 그러한 함수가 존재하는 두 group을 isomorphic(동형)이라 한다. 동형인 두 군을 $G\cong H$라 쓰고 군으로서 같다고 취급한다.

image와 kernel

• $f(e)=f(ee)=f(e)f(e)$에서 $e_H=f(e)$이므로 homomorphism은 $e_G$를 $e_H$로 보낸다.
• $f(g^{-1})f(g)=e$에서 $f(g^{-1})=f(g)^{-1}$이므로 homomorphism은 $g$를 $f(g^{-1})^{-1}$로 보낸다. 이는 inverse morphism과 다르다.
• homomorphism $f:G\to H$의 kernel은 $G$의 normal subgroup이고 image는 $H$의 subgroup이다.
• homomorphism의 kernel에 $e$밖에 없으면 $f(x)=f(y)$일 때 $f(x)\{f(y)\}^{-1}=e$에서 $xy^{-1}=e$이므로 monomorphism이다.
• homomorphism $f:G\to H$가 $G$의 generating set을 $H$의 generating set으로 옮기면 $f$가 epimorphism이다.
• group $G$가 cyclic이면 homomorphism $\varphi:G\to H$의 image $\varphi(g^n)=\varphi(g)^n$는 cyclic이다.
• group $G$에 대해서 homomorphism $\varphi:\Z\to G,\ n\mapsto g^n$의 kernel은 infinite cyclic group의 subgroup이다.

예시들

• $^{-1}:G\to G$는 commutative group에서 isomorphism이다.
• $n\geq 2$일 때 $\operatorname{sgn}:S_n\to\mu_2$는 epimorphism이고 $\ker\operatorname{sgn}$은 alternative group이다.
• exponential $\exp:(\R,\ +)\to(\R_{>0},\ \cdot)$과 logarithm $\log:(\R_{>0},\ \cdot)\to (\R,\ +)$는 group isomorphism이다.
• identity map $\id_G:G\to G,\ g\mapsto g$는 isomorphism이다.
• trivial map $e:G\to K,\ g\mapsto 1$은 homomorphism이다.
• $H$가 $G$의 subgroup일 때 natural embedding $\iota:H\to G,\ h\mapsto h$는 monomorphism이다.
• $H$가 $G$의 subgroup일 때 group homomorphism $\varphi:G\to K$의 restriction $\varphi|_H:H\to K,\ h\mapsto \varphi(h)$는 homomorphism이다.

이들 homomorphism은 전부 group homomorphism이다. 모든 함수는 set들의 category에서 homomorphism이지만, 정의역과 공역이 group을 이루지 않거나, group을 이루더라도 두 group 사이에 연산을 보존하지 않으면 group들의 category에서 homomorphism, 즉 group homomorphism이 아니다. 각 category마다 homomorphism을 다르게 정의하는데, 어떠한 algebraic structure의 homomorphism인지 일일이 명시하면 혼란을 줄일 수 있지만 편의상 생략해 쓰고는 한다.

general linear group

vector space $V$의 automorphism group을 $\mathsf{GL}(V)$라 하고 $V$의 general linear group(일반 선형군)이라 한다. $V=k^n$이면 $\det\neq 0$인 $n\times n$ 행렬들을 모은 것은 행렬 곱셈에 대해서 군을 이룬다. 이를 $\mathsf{GL}(n,\ k)$ 또는 $\mathsf{GL}_n(k)$라 쓰고 general linear group of degree $n$ over $k$라 한다. $\mathsf{GL}(n,\ k)$의 subgroup을 linear group 또는 matrix group이라고 한다. $\det=1$인 행렬들을 모은 것은 $\det:\mathsf{GL}(n,\ k)\to k^{\times}$가 group homomorphism이므로 kernel이 normal subgroup이다. 이를 $\mathsf{SL}(n,\ k)$ 또는 $\mathsf{SL}_n(k)$라 쓰고 special linear group(특수 선형군)이라 한다. $S_n$은 치환 행렬들의 linear group과 isomorphic이므로 Cayley's Theorem에 따라서 모든 finite group은 어떤 linear group과 isomrphic이다.

$V$의 basis마다 $V\to V$인 선형 사상과 정사각 행렬 사이의, vector space의 category에서의 isomorphism이 주어지므로 $\mathsf{GL}(V)$와 $\mathsf{GL}(n,\ k)$ 사이의 group isomorphism은 그 restriction이다. 벡터 공간 $V,\ W$가 둘 다 $k^n$일 때 두 group isomorphism $\varphi_V:\mathsf{GL}(V)\to \mathsf{GL}(n,\ k)$와 $\varphi_W:\mathsf{GL}(W)\to \mathsf{GL}(n,\ k)$에 대해서 $\varphi_W^{-1}\circ \varphi_V:\mathsf{GL}(V)\to \mathsf{GL}(W)$는 group isomorphism이다. 이는 vector space isomorphism $T:V\to W$에 대해서 정의한 group isomorphism $\varphi_T:\mathsf{GL}(V)\to \mathsf{GL}(W),\ X\mapsto T\circ X\circ T^{-1}$와 같다. 다음 commutative diagram으로부터 $\varphi_T$가 함수임을 알 수 있다:

$\forall X\in \mathsf{GL}(V)\ \exists T\circ X\circ T^{-1}\in \mathsf{GL}(W)\iff \require{AMScd}\begin{CD} V @> X>> V\\ @V T VV = @VV T V\\ W @> T\circ X\circ T^{-1}>> W\end{CD}$

$V,\ W$의 기저를 $T=I$가 되도록 정하면 $\varphi_V=\varphi_W\circ \varphi_T$이다. $\varphi_T$를 $\mathsf{O}(V)$로 restriction하면 inner product space automorphism이다.