고유값과 고유벡터

미지수가 $n$개인 연립미분방정식

$\displaystyle \begin{cases} a_{11}x_1(t)+a_{12}x_2(t)+\cdots+a_{1n}x_n(t)=x_1'(t) \\a_{21}x_1(t)+a_{22}x_2(t)+\cdots+a_{2n}x_n(t)=x_2'(t) \\ \quad \vdots \\a_{n1}x_1(t)+a_{n2}x_2(t)+\cdots+a_{nn}x_n(t)=x_n'(t) \end{cases}$

은 다음과 같은 행렬로 나타낼 수 있다.

$\displaystyle \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_1'(t) \\ x_2'(t) \\ \vdots \\ x_n'(t)\end{bmatrix}$

미지수가 한 개일 때 $x'(t)=ax(t)$이므로 initial condition $x(0)=c$를 지정하면 $x(t)=ce^{at}$이다. $A$는 linear이므로 superposition principle에 따라서 $Ax(t)_1=x'(t)$이고 $Ax(t)_2=x'(t)$이면 $A(cx(t)_1+c_2x(t)_2)=c_1Ax(t)_1+c_2Ax(t)_2=c_1x'(t)_1+c_2x'(t)_2=(c_1x(t)_1+c_2x(t)_2)'$이다. 그러므로 $a$를 고정하여 해의 모든 성분이 $x_i(t)=c_ie^{at}$라 가정하고 연립미분방정식을 풀면 해가 존재하는 $a$들을 찾음으로써 그 합으로 $0$ 또는 $e^{\lambda t}$들로 이루어진 모든 해를 찾을 수 있다. 이러한 $a=\lambda$들을 행렬 $A$의 eigenvalue(고유값, 고윳값)라 하고, 해 $x_i(t)=c_i e^{\lambda t}$에서 상수 $c_i$들로 이루어진 벡터 $c$를 $A$의 eigenvector(고유벡터)라 한다.

이 연립미분방정식의 $x(t)$는 initial condition $t=0$을 포함하는 open interval에서 $A$의 성분이 모두 연속 함수일 때 open interval에 속하는 $t$마다 독립인 벡터들을 만드는 서로 다른 해들의 linear combination으로 유일하다. $x_1(t)=c_ie^{\lambda t}$를 단순히 $c_i$로 대체하면 $x_i'(t)=\lambda c_i e^{\lambda t}$이므로 연립미분방정식은 $Ac=\lambda c$로 쓸 수 있다. 따라서 $\lambda$는 $(A-\lambda I)c=O$를 만족시킨다. $c$는 $A-\lambda I$의 null space의 원소이므로 $c\neq 0$가 존재하려면 $\det(A-\lambda I)=0$이어야 한다. 행렬식을 전개하면 $\lambda$에 대한 다항식이며 이를 $A$의 characteristic polynomial(특성 다항식)이라고 한다.

• $A$의 성분이 실수이더라도 $\lambda$는 복소수일 수 있다. 이제 symmetric matrix와 orthogonal matrix는 conjugate transpose와 Hermitian adjoint를 정의하여 Hermitian matrix와 unitary matrix로 확장할 이유가 생긴다.
• 각 고유값에 대응하는 고유벡터는 eigenspace $A-\lambda I$의 null space를 구성해야 하므로 하나가 아니다. 즉 $\lambda$의 고유벡터에 상수를 곱해도 $\lambda$의 고유벡터이고, 한 고유값에 독립인 여러 개의 고유벡터가 대응할 수도 있다.
• 각 행렬에 대응하는 특성 다항식은 유일하다. 그러나 $\lambda_0$마다 $(\lambda-\lambda_0)^n$이 할당되며 이 중근의 개수를 $\lambda$의 algebraic multiplicity(대수적 중복도)라 하고, $\lambda$마다 $A-\lambda I$의 null space가 할당되며 이 차원을 $\lambda$의 geometric multiplicity(기하적 중복도)라 한다. 대수적 중복도가 $1$이면 simple eigenvalue이고 두 중복도가 같으면 semisimple eigenvalue이다.

참고 자료

• https://people.math.wisc.edu/~aseeger/319/notes2.pdf
• Gilbert Strang. Linear Algebra and Its Applications.