군 준동형사상

group $G,\ H$에 대해서 함수 $f:G\to H$의 모든 원소가

$g_1\mapsto h_1,\ g_2\mapsto h_2,\ g_1\cdot_G g_2\mapsto h_1\cdot_H h_2$

를 만족하면 group homomorphism(군 준동형사상)이라고 한다. $f(g_1,\ g_2)=(f(g_1),\ f(g_2))$으로 정의할 때 이는 다음 commutative diagram을 만족시킨다:

$f(g_1\cdot_G g_2)=f(g_1)\cdot_H f(g_2)\iff \require{AMScd}\begin{CD} G^2 @>{\cdot_G}>> G\\ @V f VV = @VV f V\\ H^2 @>{\cdot_H}>> H\end{CD}$

inverse morphism이 존재하면 isomorphism(동형 사상)이라고 하며 그러한 함수가 존재하는 두 group을 isomorphic(동형)이라 한다. 동형인 두 군을 $G\cong H$ 또는 $G=H$라 쓰고 군으로서 같다고 취급한다.

image와 kernel

• $f(e)=f(ee)=f(e)f(e)$에서 $e_H=f(e)$이므로 homomorphism은 $e_G$를 $e_H$로 보낸다.
• $f(g^{-1})f(g)=e$에서 $f(g^{-1})=f(g)^{-1}$이므로 homomorphism은 $g$를 $f(g^{-1})^{-1}$로 보낸다. 이는 inverse morphism과 다르다.
• homomorphism $f:G\to H$의 kernel은 $G$의 normal subgroup이고 image는 $H$의 subgroup이다.
• homomorphism의 kernel에 $e$밖에 없으면 $f(x)=f(y)$일 때 $f(x)\{f(y)\}^{-1}=e$에서 $xy^{-1}=e$이므로 monomorphism이다.
• homomorphism $f:G\to H$가 $G$의 generating set을 $H$의 generating set으로 옮기면 $f$가 epimorphism이다.
• group $G$가 cyclic이면 homomorphism $\varphi:G\to H$의 image $\varphi(g^n)=\varphi(g)^n$는 cyclic이다.
• group $G$에 대해서 homomorphism $\varphi:\Z\to G,\ n\mapsto g^n$의 kernel은 infinite cyclic group의 subgroup이다.

예시들

• $^{-1}:G\to G$는 commutative group에서 isomorphism이다.
• $n\geq 2$일 때 $\operatorname{sgn}:S_n\to\mu_2$는 epimorphism이고 $\ker\operatorname{sgn}$은 alternative group이다.
• exponential $\exp:(\R,\ +)\to(\R_{>0},\ \cdot)$과 logarithm $\log:(\R_{>0},\ \cdot)\to (\R,\ +)$는 group isomorphism이다.
• identity map $\id_G:G\to G,\ g\mapsto g$는 isomorphism이다.
• trivial map $e:G\to K,\ g\mapsto 1$은 homomorphism이다.
• $H$가 $G$의 subgroup일 때 natural embedding $\imath:H\to G,\ h\mapsto h$는 monomorphism이다.
• $H$가 $G$의 subgroup일 때 group homomorphism $\varphi:G\to K$의 restriction $\varphi|_H:H\to K,\ h\mapsto \varphi(h)$는 homomorphism이다.

이들 homomorphism은 전부 group homomorphism이다. 모든 함수는 set들의 category에서 homomorphism이지만, 정의역과 공역이 group을 이루지 않거나, group을 이루더라도 두 group 사이에 연산을 보존하지 않으면 group들의 category에서 homomorphism, 즉 group homomorphism이 아니다. 각 category마다 homomorphism을 다르게 정의하는데, 어떠한 algebraic structure의 homomorphism인지 일일이 명시하면 혼란을 줄일 수 있지만 편의상 생략해 쓰고는 한다.

general linear group

vector space $V$의 automorphism group을 $\mathsf{GL}(V)$라 하고 $V$의 general linear group(일반 선형군)이라 한다. $V=k^n$이면 $\det\neq 0$인 $n\times n$ 행렬들을 모은 것은 행렬 곱셈에 대해서 군을 이룬다. 이를 $\mathsf{GL}(n,\ k)$ 또는 $\mathsf{GL}_n(k)$라 쓰고 general linear group of degree $n$ over $k$라 한다. $\mathsf{GL}(n,\ k)$의 subgroup을 linear group 또는 matrix group이라고 한다. $\det=1$인 행렬들을 모은 것은 $\det:\mathsf{GL}(n,\ k)\to k^{\times}$가 group homomorphism이므로 kernel이 normal subgroup이다. 이를 $\mathsf{SL}(n,\ k)$ 또는 $\mathsf{SL}_n(k)$라 쓰고 special linear group(특수 선형군)이라 한다. $S_n$은 치환 행렬들의 linear group과 isomorphic이므로 Cayley's Theorem에 따라서 모든 finite group은 어떤 linear group과 isomrphic이다.

$V$의 basis마다 $V\to V$인 선형 사상과 정사각 행렬 사이의, vector space의 category에서의 isomorphism이 주어지므로 $\mathsf{GL}(V)$와 $\mathsf{GL}(n,\ k)$ 사이의 group isomorphism은 그 restriction이다. 벡터 공간 $V,\ W$가 둘 다 $k^n$일 때 두 group isomorphism $\varphi_V:\mathsf{GL}(V)\to \mathsf{GL}(n,\ k)$와 $\varphi_W:\mathsf{GL}(W)\to \mathsf{GL}(n,\ k)$에 대해서 $\varphi_W^{-1}\circ \varphi_V:\mathsf{GL}(V)\to \mathsf{GL}(W)$는 group isomorphism이다. 이는 vector space isomorphism $T:V\to W$에 대해서 정의한 group isomorphism $\varphi_T:\mathsf{GL}(V)\to \mathsf{GL}(W),\ X\mapsto T\circ X\circ T^{-1}$와 같다. $T$가 vector space의 원소를 vector space의 원소로 보낼 때 $\varphi_T$는 vector space 간의 함수를 vector space 간의 함수로 보낸다. 다음 commutative diagram으로부터 $\varphi_T$가 함수임을 알 수 있다:

$\forall X\in \mathsf{GL}(V)\ \exists T\circ X\circ T^{-1}\in \mathsf{GL}(W)\impliedby \require{AMScd}\begin{CD} V @> X>> V\\ @V T VV = @VV T V\\ W @> T\circ X\circ T^{-1}>> W\end{CD}$

$V,\ W$의 기저를 $T=I$가 되도록 정하면 $\varphi_V=\varphi_W\circ \varphi_T$이다. $V,\ W$가 inner product space이면 $\varphi_T|_{\O(V)}$는 $V$의 orthogonal automorphism을 $W$의 orthogonal automorphism으로 보낸다.

isomorphism theorems

homomorphism theorem

group homomorphism $f:G\to H$에 대해서 $\ker f\lhd G$이므로 $G/\ker f$는 group을 이룬다. 이는 $G$를 $\ker f$로 일정하게 분할하며 $f$는 $g\ker f$의 모든 원소들을 $f(g)$로 보낸다. 즉 $f$가 injective가 아니면 정의역을 $G/\ker f$로 바꾸어 injective로 만들 수 있고 surjective가 아닌 부분은 공역을 $\im f$로 바꿀 수 있다. 따라서 $f:G\to H$가 homomorphism이면 $f':G/\ker f\to\im f$는 isomorphism이다. 이를 homomorphism theorem(준동형 정리) 또는 first isomorphism theorem(제1 동형 정리)이라고 하며, natural projection $\pi:G\to G/\ker f$와 embedding $\imath:\im f\to H$에 대해서 $f=\imath\circ f'\circ \pi$이다.

각 $g\in G$를 inner automorphism $x\mapsto gxg^{-1}$으로 보내는 $\operatorname{Inn}:G\to \Aut(G)$는 group homomorphism이다. $\im \operatorname{Inn}=\operatorname{Inn}(G)$는 모든 $g\in G$와 $\varphi \in \operatorname{Aut}(G)$에 대해서 $(\varphi^{-1}\circ\operatorname{Inn}(g)\circ\varphi)(x)=\varphi^{-1}\circ(g\varphi(x) g^{-1})=\varphi^{-1}(g\varphi(x)g^{-1})=\varphi^{-1}(g)x\varphi^{-1}(g)^{-1}=\operatorname{Inn}(\varphi^{-1}(g))$이므로 $\operatorname{Inn}(G)\lhd \Aut(G)$이다. $\ker \operatorname{Inn}$는 원소 $g\in G$를 $x\mapsto gxg^{-1}=x$로 보내므로 모든 $x$에 대해서 $gx=xg$이어야 한다. 따라서 $\ker \operatorname{Inn}=Z(G)$이고 homomorphism theorem에 의해서 $\operatorname{Inn}(G)=G/Z(G)$이다.

second isomorphism theorem

group $G$의 subgroup $H,\ K$의 intersection $H\cap K$는 subgroup이고, subgroup의 union $H\cup K$를 포함하는 subgroup들의 intersection은 $H\lhd G$이거나 $K\lhd G$일 때 $HK$이다. 증명은 다음과 같다: $H\lhd G$이고 $K$는 $G$의 subgroup이면 $hk\in HK$일 때 $g^{-1}hgk\in HK$이므로 $khk^{-1}k=kh\in HK$이다. 따라서 $HK=KH$이므로 $HK$가 subgroup이고, 이는 $H$와 $G$의 원소들로만 generate하는 group이다. 그러면 $G$의 subgroup $HK$의 subgroup $H,\ K$의 subgroup $H\cap K$의 subgroup $\{e\}$로 이어지는 diagram을 생각할 수 있다.

$H\lhd G$이고 $K$는 $G$의 subgroup이면 canonical embedding $K\to HK$에 natural projection을 합성하여 $K\to (HK)/H,\ k\mapsto hk\mapsto hkH=kH$를 group epimorphism으로 만들 수 있다. 이 homomorphism의 kernel이 $H\cap K$이므로 first isomorphism theorem에 의해서 $K/(H\cap K)\to (HK)/H$는 isomorphism이다. 이를 second isomorphism theorem(제2 동형 정리)이라고 한다. 따라서 $|G|$가 유한할 때 $|HK|=|H||K|/|H\cap K|$이고, vector space isomorphism으로 확장하면 두 부분 공간 $V,\ W$에 대해서 $\dim(V+W)=\dim(V)+\dim(W)-\dim(V\cap W)$이다.

third isomorphism theorem

$K\lhd H\lhd G$이고 $K\lhd G$이면 identity map $G\to G$의 domain과 codomain에 quotient group을 취하여 $G/K\to G/H$을 group epimorphism으로 만들 수 있다. 이 homomorphism의 kernel이 $H/K$이므로 first isomorphism theorem에 의해서 $(G/K)/(H/K)\to G/H$는 isomorphism이다. 이를 third isomorphism theorem(제3 동형 정리)이라고 한다. 이들 정리는 congruence relation으로 확장할 수 있다.

참고 자료

• 이인석. 선형대수와 군.