복소 행렬, 대칭 행렬과 양의 정부호성

$z\in\C$의 길이는 $z=a+bi$일 때 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$이고 $v\in\C^n$의 길이는 $\|v\|=\sqrt{|v_1|^2+\cdots+|v_n|^2}$이다. $|z|^2=a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)$이므로 $\overline{z}=z^*=a-bi$라 하면 $\|v\|=\sqrt{v_1\overline{v_1}+\cdots+v_n\overline{v_n}}$이다. 모든 성분에 켤레를 취한 벡터나 행렬을 $\overline{v}$로 쓸 때 두 복소 벡터 $a,\ b$의 내적은 linearity in the first argument가 성립하는 $a^T\overline{b}$나 linearity in the second argument가 성립하는 $\overline{a^T}b=a^*b$로 정의할 수 있다. 둘 다 sesquilinear form이고 이 내적에 대한 전치 행렬은 $\overline{A^T}$이다. 즉 Hermitian adjoint가 conjugate transpose(켤레 전치)이며 이를 $A^H=A^*=A^{\dagger}=A^{+}$ 등으로 쓴다. $A^*=A$, 즉 self-adjoint인 행렬 $A$를 Hermitian matrix(에르미트 행렬)라 하고 $A^{-1}=A^*$인 행렬 $A$를 unitary matrix(유니터리 행렬)라 한다.

$A^*$의 determinant는 $\det \overline{A^T}=\det \overline{A}$에서 각 성분끼리 곱하고 더하여 계산하므로 $\det \overline{A}=\overline{\det A}$이다. $A$의 고유값이 $\lambda$일 때 $A^*$의 고유값은 $\det(\overline{A^T}-\lambda I)=\det\overline{(A-\overline{\lambda}I)^T}=\overline{\det(A-\overline{\lambda}I)}=0$의 해이고 $0$은 실수이므로 complex conjugate $\overline{\lambda}$이다. 실수 행렬의 고유값이 복소수 $\lambda$일 때 $\overline{Ax}=A\overline{x}=\overline{\lambda x}=\overline{\lambda}\overline{x}$이므로 켤레 $\overline{\lambda}$도 고유값이다.

$A^*=A$이면 모든 벡터 $v$에 대해서 $(v^*Av)^*=v^*A^*v=v^*Av$는 허수 부분이 $0$이어야 하므로 실수이다. 이제 $Ax=\lambda x$를 가정하면 $x^*Ax=\lambda x^*x=\lambda \|x\|^2$도 실수이어야 하는데 $\|x\|^2$는 양수이므로 $\lambda$는 실수이다. 즉 Hermitian matrix $A$의 모든 고유값은 실수이므로 $c\neq 0$이면 $\det(A+ciI)\neq 0$이다. 실수 대칭 행렬의 모든 고유값이 실수이므로 $(A-\lambda I)x=0$의 해는 실수 행렬의 null space이고, 각 고유값에 대응하는 실수 고유벡터를 elimination으로 얻을 수 있다.

unitary matrix $Q$가 $(Q+cI)x=0$이라고 가정하면 $Qx=-cx$에서 $x^*x=x^*Q^*Qx=(-cx)^*(-cx)=\overline{c}cx^*x=|c|^2x^*x$이다. $|c|\neq 1$이면 $x=0$이어야 하므로 그러한 $Q+cI$의 null space에는 $0$밖에 없다. 따라서 unitary matrix는 모든 고유값의 절댓값이 $1$이며, 각 column의 길이도 $1$이므로 triangular matrix가 diagonal matrix밖에 없다. $A$가 Hermitian이면서 unitary이면 $A^2=I$이며 세 조건 중 둘이 나머지 하나를 함의한다.

스펙트럼 분해

$A^*=A$이면 $Ax=\lambda x,\ Ay=\mu y,\ \lambda \neq\mu$일 때 $\langle \lambda x,\ y\rangle=\langle Ax,\ y\rangle=\langle x,\ A^*y\rangle=\langle x,\ \mu y\rangle$에서 $\lambda^*-\mu=0$이거나 $\langle x,\ y\rangle=0$이어야 한다. $A$의 모든 고유값이 실수이므로 $x\perp y$이고, 그러므로 Hermitian matrix $A$의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터 $q_i$들이 각 열을 이루는 unitary matrix $Q$에 대해서 $A=Q\Lambda Q^*$로 고유값 분해할 수 있다. $A_{ij}=\lambda_1q_{i1}\overline{q_{j1}}+\cdots+\lambda_n q_{in}\overline{q_{jn}}$에서 각 항을 고유값에 한 행렬을 곱한 것으로 볼 수 있고, 따라서 $A=\lambda_1 q_1q_1^*+\cdots+\lambda_n q_nq_n^*$이다. 이 일차 결합을 $A$의 spectral decomposition(스펙트럼 분해)이라고 하며, $q_iq_i^*$는 projection matrix이므로 다항식 $f$에 대해서 $f(A)=f(\lambda_1)q_1q_1^*+\cdots+f(\lambda_m)q_nq_n^*$이다.

spectral decomposition은 Schur decomposition으로 볼 수 있다. 행렬 $A$가 주어지면 unitary matrix $Q$와 triangular matrix $A'$에 대해서 $A=QA'Q^{-1}$이므로 $A^*=A$이면 $A'^*=(Q^{-1}AQ)^*=Q^*A^*(Q^{-1})^*=Q^{-1}AQ$에서 $A'$는 diagonal matrix이다. 일반화하여 $AA^*=A^*A$이면 $A'=Q^{-1}AQ$도 $A'A'^*=Q^{-1}AQQ^{-1}A^*Q=Q^{-1}AA^*Q=Q^{-1}A^*AQ=A'^*A'$이며

$(A'A'^*)_{11}=|a_{11}|^2+\cdots+|a_{1n}|^2=(A'^*A')_{11}=|a_{11}|^2$이므로 $a_{12},\ \cdots,\ a_{1n}$은 모두 $0$이고, $(A'A'^*)_{22}=|a_{22}|^2+\cdots+|a_{2n}|^2=(A'^*A')_{22}=|a_{12}|^2+|a_{22}|^2=|a_{22}|^2$이므로 $a_{23},\ \cdots,\ a_{2n}$은 모두 $0$이고, ...

따라서 $A'$는 diagonal matrix이다. 즉 $AA^*=A^*A$이면 normal matrix이고 spectral decomposition을 할 수 있다. unitary matrix는 서로 다른 고유값 $\lambda,\ \mu$에 대응하는 고유벡터 $x,\ y$가 $x^*y=(Qx)^*Qy=\overline{\lambda}\mu x^*y$에서 $\overline{\lambda}\lambda=1$이므로 $x^*y=0$이어야 한다. skew-Hermitian matrix는 Hermitian matrix에 허수 $i$를 곱한 것으로 모든 고유값이 pure imaginary number이다.

양의 정부호성

모든 성분이 복소수인 행렬 $A$는 Hermitian matrix와 skew-Hermitian matrix의 합 $\displaystyle A=\frac{A+A^*}{2}+\frac{A-A^*}{2}$로 쓸 수 있다. 첫 번째 항은 모든 고유값이 real number, 두 번째 항은 모든 고유값이 pure imaginary number이다. 합의 고유값을 각각의 고유값에서 얻을 수 없지만, Hermitian part만 가지면서 모든 고유값이 양수인 행렬을 positive definite(양의 정부호)라 해 볼 수 있다. 그러한 $A$는 Hermitian matrix이므로 모든 벡터 $v$에 대해서 $v^*Av$가 실수이고 $\displaystyle v^*Av=v^*(Q\Lambda Q^*)v=(Q^*v)^*\Lambda(Q^*v)=\sum_{i}\lambda_i |(Q^*v)_i|^2$이다. 즉 모든 벡터 $v\neq 0$에 대해서 $v^*Av$는 양수이다. 또한 $v=(x_1,\ \cdots,\ x_n)^T$라 하면 scalar $v^*Av$를 변수 $x_1,\ \cdots,\ x_n$에 관한 다항식 $\displaystyle \sum_{i,\ j} A_{ij} \overline{x_i}x_j$로 볼 수 있고 $v=0$일 때 최솟값 $0$을 가진다. 이 식을 $A$의 quadratic form(이차 형식)이라고 한다. $\|v\|=1$일 때 이차 형식의 최댓값은 $A$의 가장 큰 고유값이다.

대개는 모든 벡터 $x\neq 0$에 대해서 $x^*Ax>0$인 행렬을 positive definite로 정의한다. 이 조건을 따르는 $A$와 $x$의 성분이 복소수이면 $x^*Ax$를 실수로 만들기 위해서 모든 벡터 $x\neq 0$에 대해서 $(x^*Ax)^*=x^*Ax$이어야 하고 $A$는 Hermitian이다. 이 조건을 따르는 $A$와 $x$의 성분이 실수이면 그러한 제한이 없으므로 symmetric 조건을 추가로 가정해 줄 수 있다. 그러지 않으면 고유값이 양수이어도 $x^*Ax>0$이 아닐 수 있고, $x^*Ax>0$이어도 고유값이 실수가 아닐 수 있다. 하지만 $x^*Ax>0$일 때 고유값의 real part는 항상 양수이고 문맥에 따라서 symmetric 조건을 붙이지 않은 정의를 선호할 수 있다. 복소 행렬에서와 마찬가지로 $A$를 symmetric matrix와 skew-symmetric matrix의 합 $\displaystyle A=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2}$로 쓸 수 있고, $A$의 skew-symmetric part는 $\displaystyle x^T\left(\frac{A-A^T}{2}\right)x=\frac{x^TAx-(x^TAx)^T}{2}=0$이다.

$A,\ B$가 positive definite이면 $x^*(A+B)x>0$이므로 $A+B$가 positive definite, $Ax=\lambda x$일 때 $A^2,\ A^{-1},\ e^{At}$의 고유값이 $\lambda^2,\ 1/\lambda,\ e^{\lambda t}$이므로 $A^2,\ A^{-1},\ e^{At}$가 positive definite이다. $A-A_{ii}I$가 positive definite이면 $v_i=1$인 단위 벡터 $v$에 대해서 $v^*(A-A_{ii}I)v=(A-A_{ii}I)_{ii}>0$이어야 하지만 $(A-A_{ii}I)_{ii}=0$이므로 모순이다. 즉 행렬이 positive definite이면 각 대각 성분은 가장 작은 고유값과 같거나 그보다 크다. $A$가 positive definite이면 $AB+B^*A=-I$이고 $Bx=\lambda x$일 때 $x^*(AB+B^*A)x=2\lambda x^*Ax=-\|x\|^2$이므로 asymptotically stable이다.

matrix congruence

실수 대칭 행렬 $A$가 $n\times n$ 행렬 $I$이면 $x^TAx=1$은 $n$차원 구의 방정식이고, $\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix},\ x=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix}^T$이면 $x^TAx=1$은 장축이 $x_1$축이고 단축이 $x_2$축이며 $(\pm 1,\ 0)$과 $(0,\ \pm 0.5)$를 지나는, 중심이 원점인 타원의 방정식이다. 실수 대칭 행렬 $A$가 $2\times 2$ 행렬이면 고유값 $\lambda_1$에 대응하는 길이가 $1$인 고유벡터 $q_1=(a,\ b)$과 고유값 $\lambda_2$에 대응하는 길이가 $1$인 고유벡터 $q_2=(c,\ d)$에 대해서 $x^TAx=(Q^Tx)^T\Lambda(Q^Tx)=\lambda_1(ax_1+bx_2)^2+\lambda_2(cx_1+dx_2)^2$이다. orthogonal matrix $Q$는 reflextion들뿐이고 $x^TAx=1$은 각 축의 방향이 $A$의 고유벡터인, 회전된 타원의 방정식이다. 실수 대칭 행렬 $A$가 positive definite인 $n\times n$ 행렬이면 마찬가지로 축의 방향이 고유벡터이고 축의 길이가 고유값의 inverse square root인, 중심이 원점인 타원체의 방정식이며 이를 principal axis theorem(주 축 정리)이라고 한다.

축 회전 이전의 $A$와 축 회전 이후의 $B^TAB$의 관계를 congruent(합동)라고 한다. 이는 정사각 행렬 $B$의 모든 고유값이 $0$이 아닐 때 $A$와 $B^TAB$가 서로 다른 basis에서 같은 bilinear form을 이끌어낼 수 있음을 뜻한다. matrix congruence는 equivalence relation이다. $A$가 실수 대칭 행렬일 때, congruent인 행렬은 고유값이 양수인 것, 음수인 것, $0$인 것의 개수가 $A$와 같고 그 역도 성립한다. 이를 Sylvester's law of inertia라 하며 증명은 다음과 같다: orthogonal matrix $Q$에 대해서 $A$와 $Q^TAQ$의 고유값은 같으므로 $B^TAB$에서 $Q^TAQ$로 가도록 함수 $f(t)=tQ+(1-t)B$를 생각할 수 있다. $B$는 invertible이므로 QR 분해를 할 수 있고 $f(t)=Q(tI+(1-t)R)$은 continuous function이다. $R$의 대각 성분이 모두 양수가 되도록 분해했다면 $tI+(1-t)R$는 모든 $t$에 대해서 invertible이다. 이때 $(f(t))^TAf(t)$는 continuous function이므로 모든 고유값이 $0$을 가로지르지 않는다.

또는 $A$의 양수인 고유값에 대응하는 고유벡터 $x_i$들과 $B^TAB$의 음수인 고유값에 대응하는 고유벡터 $y_i$들에 대해서 $x_1,\ \cdots,\ By_1,\ \cdots$가 독립이므로 고유값이 양수인 것, 음수인 것의 개수가 서로 같으며, $\rank B^TAB\leq \rank A$이고 $\rank B^TAB \geq \rank (B^T)^{-1}B^TABB^{-1}$이므로 고유값이 $0$인 것의 개수가 서로 같다. 모든 실수 대칭 행렬은 signature matrix와 congruent이다.

마찬가지로 $A$가 Hermitian일 때 conjugate transpose에 대해서 law of inertia가 성립한다. $A$에 제한이 붙는 이유는 고유값을 양수와 음수로 나누기 위해서이다. $I$는 positive definite이므로 $A$의 모든 고유값이 $0$이 아닐 때 law of inertia에 따라서 정사각 대칭 행렬 $A^TA$와 $AA^T$는 positive definite이다. $x^TAx$는 symmetric matrix $A$의 $LDL^T$ 분해와도 잘 어울린다. $x^TAx=(L^Tx)^TD(L^Tx)$는 elimination에서 얻는 pivot을 계수로 하여 $A$의 이차 형식을 완전제곱식으로 정리한 것이다. law of inertia에 따라서 $D$와 $A$는 same inertia를 가진다. 따라서 $A-cI$의 pivot의 부호를 통해 가장 작은 고유값을 근사할 수 있다. 이는 pivot의 값에서 얻을 수 있는 성질이 아니며, 예를 들어 $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix}$의 pivot은 $2,\ 3/2,\ 4/3$이지만 고유값은 $2,\ 2+\sqrt{2},\ 2-\sqrt{2}$이다.

semi-definiteness

$A=BDB^*$와 같은 분해를 $A=(B\sqrt{D})(B\sqrt{D})^*$처럼 볼 수 있다. $A=CC^*$ 또는 $A=C^*C$일 때 모든 unitary matrix $Q$에 대해서 $A=(CQ)(CQ)^*$ 또는 $A=(QC)^*(QC)$이고 $C$를 QR 분해할 수 있으면 $A=(RQ)(RQ)^*$ 또는 $A=(QR)^*(QR)$이다. 이는 Gramian matrix(그람 행렬)이며, 예를 들어 $A$가 Hermitian일 때 $A=LDL^*,\ A=Q\Lambda Q^*,\ A=Q\sqrt{\Lambda}Q^*Q\sqrt{\Lambda} Q^*$를 이와 같이 쓸 수 있다.

$A=C^*C$이면 $A^*=A$이며 $x^*C^*Cx=(Cx)^*(Cx)=\|Cx\|^2$에서 $x^*Ax\geq 0$이다. 이러한 $A$를 positive semi-definite(양의 준정부호)라고 한다. $C$의 column이 독립이면 $Cx=0$인 $x$는 $0$뿐이므로 $A$는 positive definite이다. 또한 $x^*Ax\geq 0$이면 $(Px)^*A(Px)\geq 0$이어야 하므로 모든 주 소행렬식이 $0$ 이상이라는 것은 positive semi-definite를 뜻하고, 그 가운데 모든 선도 주 소행렬식만이 양수이어도 positive definite를 뜻한다. 예를 들어 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$는 모든 선도 주 소행렬식이 $0$이지만 negative semi-definite이다. $A=C^*C$이면 Cauchy–Schwarz inequality에 따라서 $\|Cx\|^2\|Cx'\|^2=(x^*C^*Cx)(x'^*C^*Cx')=(x^*Ax)(x'^*Ax')\geq |(Cx)^*Cx'|^2=|x^*C^*Cx'|=|x^*Ax'|^2$이다. $\det A=(\det C)^2$는 $C$의 각 행 또는 각 열을 서로 직교하는 벡터들로 만들었을 때 각 벡터들의 크기의 제곱의 곱이고 $A_{ii}=[C^*]_i[C]^i=\|[C]^i\|^2$이므로 $\displaystyle \det A \leq \prod_i A_{ii}$이다.

$A=LDL^*$을 $A=CC^*=(L\sqrt{D})(L\sqrt{D})^*$로 보는 것을 Cholesky decomposition(숄레스키 분해)라고 한다. $A$가 positive semi-definite일 때 대각 성분이 양수로 $\rank A$개 있으면서 나머지 column들이 모두 $0$인 $L\sqrt{D}$는 유일하다. $A=CC$이면 $\sqrt{A}=C$로 쓰고 square root of a matrix라고 한다. $A$가 positive semi-definite일 때 $C$도 positive semi-definite이어야 하면 $C=QD Q^*,\ C'=Q'D' Q'^*$일 때 $A=QD^2 Q^*=Q'D'^2 Q'^*$에서 $C=Q\sqrt{\Lambda}Q^{*}$로 유일하고 $CC=CC^*=C^*C$이다.

$\partial^2 f(x,\ t)/\partial x^2=x''$와 같은 미분 방정식에서 $x''$가 $x$에 scalar를 곱한 꼴이면 행렬로 구성한 이계 도함수 $A$에 대해서 $Ax=\lambda x$로 쓸 수 있다. 이때 $x''$의 각 성분에 질량 $m$을 할당하면 $Ax=\lambda Mx$이다. 만약 $M$이 positive semi-definite이면 $Ax=\lambda C^* Cx$에서 $AC^{-1}Cx=\lambda C^* Cx$이고 $(C^{-1})^*AC^{-1}Cx=\lambda Cx$는 Hermitian matrix $(C^{-1})^*AC^{-1}$의 고유값을 구하는 문제이다. 이때 $\lambda$가 바뀌지 않으므로 $Ax=\lambda Mx$를 만족하는 $\lambda$는 $(C^{-1})^*AC^{-1}$의 고유값이고, $x$는 $(C^{-1})^*AC^{-1}$의 고유벡터 $Cx$들의 앞에 $C^{-1}$을 곱한 것이다. 즉 $\lambda$들은 실수이고 law of inertia에 따라서 그 부호들이 $A$의 고유값들과 같으며, $(C^{-1})^*AC^{-1}$를 스펙트럼 분해할 수 있으므로 직교하는 두 고유 벡터 $Cx_1,\ Cx_2$에 대해서 $(Cx_1)^*Cx_2=x_1^*C^*Cx_2=x_1^*Mx_2=0$이다. 따라서 이러한 $x_i$들이 각 열을 이루는 행렬 $X$에 대해서 $X^*AX=\Lambda$이다. 이는 $Q^{-1}AQ=\Lambda$와 같은 대각화가 아니다.

singular value decomposition

$n\times m$ 행렬 $A$의 column space와 left null space의 orthonormal basis로 $U$를 구성하고 row space와 null space의 orthonormal basis로 $V$를 구성해 볼 수 있다. $A^TA$는 $A$와 null space가 같고 $\lambda \neq 0$에 대해서 $A^TAx=\lambda x$에 대응하는 고유벡터 $x$들은 row space를 생성한다. 반면에 $AA^T$는 $A$와 left null space가 같고 $\lambda \neq 0$에 대해서 $AA^Tx'=\lambda x'$에 대응하는 고유벡터 $x'$들은 column space를 생성한다. $A^TA$의 고유값 $\lambda_i$에 대응하는 고유벡터를 right singular vector $x_i$라 할 때 $x_i^TA^TAx_i=\lambda_ix_i^Tx_i$에서 $\|Ax_i\|^2=\lambda_i$이다. $(AA^T)(Ax_i)=\lambda_i(Ax_i)$이므로 $AA^T$의 고유값 $\lambda_i$에 대응하는 left singular vector $x'_i$는 $Ax_i/\|Ax_i\|=Ax_i/\sqrt{\lambda_i}$이다.

따라서 right singular vector들이 각 열을 이루는 $m\times m$ 행렬을 $V$, left singular vector들이 각 열을 이루는 $n\times n$ 행렬을 $U$라 하고, 각 $\sqrt{\lambda}$들이 대각 성분을 이루는 $n\times m$ 행렬을 $\Sigma$라 하면 $AV=U\Sigma$이며 이를 $A$의 singular value decomposition(특이값 분해)이라 한다. 대각 행렬 $\Sigma$는 $A^TA$에서 나오는 $m\times m$ 행렬 $\Sigma^T\Sigma$와 $AA^T$에서 나오는 $n\times n$ 행렬 $\Sigma\Sigma^T$에 있는 동일한 eigenvalue들 $\lambda_i=\sigma_i^2$의 root $\sigma_i$들을 가지고, 이를 $A$의 singular value(특이값)라 한다.

마찬가지로 복소 행렬에 대해서 unitary matrix $V,\ U$를 구성하여 $A=U\Sigma V^*$로 쓸 수 있다. spectral decomposition $A=Q\Lambda Q^*$이 있으면 $A^TA=AA^T=Q\overline{\Lambda}\Lambda Q^*$이고, $A$가 positive definite일 때 $A^2$의 eigenvector가 $A$와 같으므로 spectral decomposition이 또한 singular value decomposition이다. $\displaystyle \max_i\sigma_i /\min_i \sigma_i$를 $A$의 condition number라 하며, singular value들을 큰 것부터 나열했을 때 적당히 끊어서 condition number를 낮추면 주어진 행렬의 데이터를 손실 압축할 수 있다. 직사각 행렬 $A=U\Sigma V^T$의 유사 역행렬은 각 $\sigma_i$의 역수들이 대각 성분을 이루는 $m\times n$ 행렬 $\Sigma^{+}$에 대해서 $A^{-1}=V\Sigma^{+}U^T$이다.

polar decomposition

$A=U\Sigma V^*=(UV^*)(V\Sigma V^*)$에서 $UV^*$는 unitary matrix이고 $V\Sigma V^*$는 Hermitian matrix이면서 positive semi-definite이다. $Q=UV^*$를 편각, $S=V\Sigma V^*$를 절댓값처럼 생각하여 $A=QS$를 polar decomposition(극 분해)이라고 한다. $S$의 eigenvalue인 특이값들에서 $A$를 취할 때 scaling이 어떻게 되는지 알 수 있다. $S^2=A^*A$이고, $A=(U\Sigma U^*)(UV^*)=S'Q$로 분해하면 $S^2=AA^*$이다. $A$가 invertible이면 $S$는 positive definite이다.

참고 자료

• Gilbert Strang. Linear Algebra and Its Applications.
• Serge Lang. Linear Algebra.