물리학의 기초와 경험적 근사들

경험적인 근사들을 건너뛰고 마찰력을 논할 수 있겠는가? https://www.wiley.com/en-kr/Fundamentals+of+Physics%2C+Extended%2C+12th+Edition-p-9781119773474

base quantities

• $\text{s}$는 time T의 단위로 second라 한다. $^{133}_{\ \ 55}\text{Cs}$ atom의 unperturbed ground-state hyperfine transition frequency를 $9\ 192\ 631\ 770\ \text{s}^{-1}$로 정의한다.
• $\text{m}$는 length L의 단위로 metre라 한다. 진공에서 빛의 속도를 $299\ 792\ 458\ \text{m}/\text{s}$로 정의한다.
• $\text{kg}$은 mass M의 단위로 kilogram이라 한다. Planck constant를 $6.626\ 070\ 15\times 10^{-34}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\text{/s}$로 정의한다.
• $\text{A}$는 electric current I의 단위로 ampere라 한다. elementary charge를 $1.602\ 176\ 634\times 10^{-19}\ \text{A}\cdot\text{s}$로 정의한다.
• $\text{K}$는 thermodynamic temperature Θ의 단위로 kelvin이라 한다. Boltzmann constant를 $1.380\ 649\times 10^{-23}\ \text{J}/\text{K}=1.380\ 649\times 10^{-23}\ \text{kg}\cdot(\text{m}^2/\text{s}^{2})/\text{K}$로 정의한다.
• $\text{mol}$은 amount of substance N의 단위로 mole이라 한다. Avogadro constant를 $6.022\ 140\ 76\times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$로 정의한다.
• $\text{cd}$는 luminous intensity J의 단위로 candela라 한다. frequency가 $540\times 10^{12}\ \text{s}^{-1}$인 monochromatic radiation의 luminous efficacy를 $683\ \text{lm}/\text{W}=683\ \text{cd}\cdot\text{sr}/(\text{kg}\cdot(\text{m}^{2}/\text{s}^{2})/\text{s})$로 정의한다. $\text{sr}$는 dimensionless quantity 1의 단위로 $\text{sr}=1\ \text{m}^2/\text{m}^2$이다.

motion with constant acceleration

등가속도 운동의 초기 속도를 $v_0$이라 할 때 $v(t)-v_0=at$이고 $x(t)-x_0=at^2/2+v_0t$이다. 여기에서 $(x(t)-x_0)/t=at/2+v_0$는 평균 속도이다. 두 식을 연립하면 $v^2(t)=a^2t^2-2av_0t+v_0^2=2a(x(t)-x_0)+v_0^2$이다. 따라서 등가속도 운동의 초기 위치를 $0$이라 할 때 다음을 알 수 있다:

• $x(t)$와 관계가 없으면 $v(t)-v_0=at$를 쓸 수 있다.
• $v(t)$와 관계가 없으면 $x(t)=at^2/2+v_0t$를 쓸 수 있다.
• $t$와 관계가 없으면 $v^2(t)=2ax(t)+v_0^2$를 쓸 수 있다.
• $a$와 관계가 없으면 $x(t)=(v(t)t+v_0t)/2$를 쓸 수 있다.
• $v_0$와 관계가 없으면 $x(t)=-at^2/2+v(t)t$를 쓸 수 있다.

$t$가 변수이므로 세 번째 식은 유용하다. 예를 들어 $x(t_1)=20$에서 $v(t_1)=10$이고 $x(t_2)=50$에서 $v(t_2)=0$이면 $v^2(t_1)=2ax(t_1)+v_0^2$에서 $100=40a+v_0^2$이고 $v^2(t_2)=2ax(t_2)+v_0^2$에서 $0=100a+v_0^2$이므로 $a=-5/3$이고 $v_0=\sqrt{500/3}$이다. $x(t_1)=(v(t_1)t_1+v_0 t_1)/2$에서 $40=10t_1+v_0t_1$이고 $x(t_2)=(v(t_2)t_2+v_0t_2)/2$에서 $100=v_0t_2$이므로 $t_1=2\sqrt{15}-6$이고 $t_2=2\sqrt{15}$이다. 검증하면 $x(t_1)=5t_1^2/6+v(t_1)t_1$에서 $20=80-20\sqrt{15}+10(2\sqrt{15}-6)$이고 $x(t_2)=5t_2^2/6+v(t_2)t_2$에서 $50=50$이다.

force and energy

distance와 speed는 방향을 가지지 않으며 양수이다. displacement와 velocity는 방향을 가지고 음수일 수 있다. 물체의 궤적을 파악하는 방법은 궤적의 각 순간을 분석하는 것이다. 각 순간의 일차 근사, 즉 differentiation(미분)을 정의하려면 distance 대신에 displacement가, speed 대신에 velocity가 필요하다. velocity의 시간 미분은 acceleration이다. 발 딛은 행성과 함께 돌고 있는 사람들이 행성의 속도에 관해서 느끼는 바가 없다는 것은, 모든 속도는 상대 속도로서 관찰자에 의존하며 속도가 $0$인 등속도 운동과 속도가 $0$이 아닌 등속도 운동이 다르지 않다는 것을 시사한다. 따라서 물체의 운동에서 의미가 있는 것은 시간에 따른 속도의 변화, 즉 가속도이다. 물체의 운동에 필요한 자원은 물체의 질량에 비례하고, 물체의 가속도에 비례하며, 가속도가 유지되어 물체가 이동한 거리에 비례한다. 다른 변수들을 배제하고 이 양을 energy라고 정의한다. 에너지의 SI unit은 joule이다.

$1\ \text{J}=1\ \text{kg}\cdot \text{m} \cdot \text{m/s}^2$

각 좌표마다 온도를 할당시켜 에너지의 분포를 표현할 수 있듯이 각 위치 또는 상태에서의 시간에 따른 에너지의 분포가 주어지므로 물체의 운동을 분석하는 또 한 가지 방법은 물체의 운동에 필요한 에너지의 소모 과정에서 각 지점을 분석하는 것이다. energy의 공간 미분을 force라고 정의한다. 힘의 SI unit은 newton이다.

$F(x,\ t)=-\nabla E(x,\ t)$

즉 $F=ma$는 에너지의 공간 미분이 운동량의 시간 미분과 일치한다는 뜻이다. 위치 또는 상태 $x$에서 끌어올 수 있는 에너지 $E(x)$를 계의 potential이라고 한다. potential로부터 물체가 얻은 에너지 $E_k$는 $\displaystyle \int_0^x F\ dx$이고 등가속도 운동에서 시간에 무관하게 $v^2=2ax$이므로 $\displaystyle E=\frac{1}{2}mv^2$이다.

rotation

$\R^3$의 두 벡터 $a,\ b$와 사잇각 $\theta$에 대해서 $\|a\times b\| = \|a\|\|b\|\sin\theta$이고 $a^T(a\times b)=b^T(a\times b)=0$인 pseudovector $a\times b$를 생각할 수 있다. 이때 주는 방향이 positively-oriented이면 right-hand rule을 따른다. 즉 오른손으로 $a$에서 $b$를 향해 네 손가락을 돌려 쥘 때 엄지 손가락의 방향이다. $a$에서 $b$로 향하는 방향이 반시계 방향이면 마주 보는 면의 앞을 향하고 $a$에서 $b$로 향하는 방향이 시계 방향이면 마주 보는 면의 뒤를 향한다. cross product의 각 성분은 해당하는 성분을 제외한 성분을 $a_1b_2-b_1a_2$로 계산한다. 이는 $\begin{pmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}$의 determinant이다.

참고 자료

• David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fundamentals of Physics.