물리학의 기초와 경험적 근사들

https://www.wiley.com/en-kr/Fundamentals+of+Physics%2C+Extended%2C+12th+Edition-p-9781119773474

base quantities

• $\text{s}$는 time T의 단위로 second라 한다. $^{133}_{\ \ 55}\text{Cs}$ atom의 unperturbed ground-state hyperfine transition frequency를 $9\ 192\ 631\ 770\ \text{s}^{-1}$로 정의한다.
• $\text{m}$는 length L의 단위로 metre라 한다. 진공에서 빛의 속도를 $299\ 792\ 458\ \text{m}/\text{s}$로 정의한다.
• $\text{kg}$은 mass M의 단위로 kilogram이라 한다. Planck constant를 $6.626\ 070\ 15\times 10^{-34}\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\text{/s}$로 정의한다.
• $\text{A}$는 electric current I의 단위로 ampere라 한다. elementary charge를 $1.602\ 176\ 634\times 10^{-19}\ \text{A}\cdot\text{s}$로 정의한다.
• $\text{K}$는 thermodynamic temperature Θ의 단위로 kelvin이라 한다. Boltzmann constant를 $1.380\ 649\times 10^{-23}\ \text{J}/\text{K}=1.380\ 649\times 10^{-23}\ \text{kg}\cdot(\text{m}^2/\text{s}^{2})/\text{K}$로 정의한다.
• $\text{mol}$은 amount of substance N의 단위로 mole이라 한다. Avogadro constant를 $6.022\ 140\ 76\times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$로 정의한다.
• $\text{cd}$는 luminous intensity J의 단위로 candela라 한다. frequency가 $540\times 10^{12}\ \text{s}^{-1}$인 monochromatic radiation의 luminous efficacy를 $683\ \text{lm}/\text{W}=683\ \text{cd}\cdot\text{sr}/(\text{kg}\cdot(\text{m}^{2}/\text{s}^{2})/\text{s})$로 정의한다. $\text{sr}$는 dimensionless quantity 1의 단위로 $\text{sr}=1\ \text{m}^2/\text{m}^2$이다.

lever

principle of virtual work

motion with constant acceleration

등가속도 운동의 초기 속도를 $v_0$이라 할 때 $v(t)-v_0=at$이고 $x(t)-x_0=at^2/2+v_0t$이다. 여기에서 $(x(t)-x_0)/t=at/2+v_0$는 평균 속도이다. 두 식을 연립하면 $v^2(t)=a^2t^2-2av_0t+v_0^2=2a(x(t)-x_0)+v_0^2$이다. 따라서 등가속도 운동의 초기 위치를 $0$이라 할 때 다음을 알 수 있다:

• $x(t)$와 관계가 없으면 $v(t)-v_0=at$를 쓸 수 있다.
• $v(t)$와 관계가 없으면 $x(t)=at^2/2+v_0t$를 쓸 수 있다.
• $t$와 관계가 없으면 $v^2(t)=2ax(t)+v_0^2$를 쓸 수 있다.
• $a$와 관계가 없으면 $x(t)=(v(t)t+v_0t)/2$를 쓸 수 있다.
• $v_0$와 관계가 없으면 $x(t)=-at^2/2+v(t)t$를 쓸 수 있다.

$t$가 변수이므로 세 번째 식은 유용하다. 예를 들어 $x(t_1)=20$에서 $v(t_1)=10$이고 $x(t_2)=50$에서 $v(t_2)=0$이면 $v^2(t_1)=2ax(t_1)+v_0^2$에서 $100=40a+v_0^2$이고 $v^2(t_2)=2ax(t_2)+v_0^2$에서 $0=100a+v_0^2$이므로 $a=-5/3$이고 $v_0=\sqrt{500/3}$이다. $x(t_1)=(v(t_1)t_1+v_0 t_1)/2$에서 $40=10t_1+v_0t_1$이고 $x(t_2)=(v(t_2)t_2+v_0t_2)/2$에서 $100=v_0t_2$이므로 $t_1=2\sqrt{15}-6$이고 $t_2=2\sqrt{15}$이다. 검증하면 $x(t_1)=5t_1^2/6+v(t_1)t_1$에서 $20=80-20\sqrt{15}+10(2\sqrt{15}-6)$이고 $x(t_2)=5t_2^2/6+v(t_2)t_2$에서 $50=50$이다.

projectile motion

물체를 지면에서 각도 $\theta$를 이루는 방향으로 초기 속도 $v_0$을 가지도록 발사할 때 수평 방향 속도 $(v_0)_x=v_0\cos\theta$와 수직 방향 속도 $(v_0)_y=v_0\sin\theta$에 대해서 $x(t)-x_0=(v_0\cos\theta)t$이고 $y(t)-y_0=(-g)t^2/2+(v_0\sin\theta)t$이다. $\displaystyle \frac{x(t)-x_0}{v_0\cos\theta}=t$이므로 $\displaystyle y(t)-y_0=\frac{(-g)(x(t)-x_0)^2}{2v_0^2\cos^2\theta}+(\tan\theta)(x(t)-x_0)$이다. 즉 projectile motion의 궤적은 $y=ax^2+bx$이므로 parabola이다. $y(t)-y_0=0$일 때 $\displaystyle \frac{(-\tan\theta)(2v_0^2\cos^2\theta)}{-g}=x(t)-x_0$에서 $(v_0^2\sin 2\theta)/g=x(t)-x_0$이다.

uniform circular motion

등속력 원운동을 밖에서 멈추어 관찰하면 각 순간에 접선 방향을 향해 등속도로 진행하는 물체가 centripetal force를 받는 것으로 보인다. 등속력 원운동하는 물체 위에서는 앞을 향해 등속도로 진행하는 물체가 centrifugal force를 받는 것으로 보인다. 이는 물체의 부분이 떨어져 나갔을 때 그 부분의 궤적을 생각해 보면 명확해진다. 등속력 원운동하는 물체 위에서는 관성계가 아니므로 관성계에서 원심력은 가상의 힘이다.

마찬가지로 등속력 자전하는 물체 위에서 자전 방향에 수직으로 다른 물체를 던졌을 때, 밖에서 멈추어 관찰하면 그 순간에 던진 방향에 더해서 자전의 접선 방향을 향해 등속도로 진행하는 것으로 보이지만 등속력 자전하는 물체 위에서는 저위도에 있는 사람의 속력이 고위도에 있는 사람의 속력보다 높으므로 Coriolis force를 받는 것으로 보인다. 북극을 관찰할 때 반시계 방향으로 자전하는 물체에 대해서 Coriolis force는 북반구에서는 오른쪽을, 남반구에서는 왼쪽을 향한다.

자유 낙하하는 물체 위에서는 아래를 향해 멈추어 있거나 등속도로 진행하는 것처럼 느끼는, 어떤 힘도 받지 않는 것으로 보이는 무중량 상태이다. equivalence principle에 따라서 아래를 향해 등가속도로 진행하는 물체가 inertial force를 받는 것으로 보이기 때문이다. 즉 관성계에서 관찰했을 때 관성계가 아닌 곳의 운동이 관성계가 아닌 곳에서 관찰했을 때 관성계인 곳의 운동으로 보일 수 있다. 이러한 관점에서 중력은 시공간의 곡률에 의한 관성력일 수 있다.

friction

마찰력은 난해하므로 경험적인 관찰로부터 마찰 계수를 상수로 가정하여 근사할 수 있다. 이는 복합적인 현상들을 망라한 결과로 $F\propto v^2$ 또는 $F\propto v$로 근사될 수도 있다.

terminal speed

부력을 고려하지 않은 종단 속도는 중력에 의한 힘을 $F$라 할 때 공기의 밀도 $\rho$와 projected area $A$, drag coefficient $C$에 대해서 $\sqrt{2F/(\rho AC)}$이다.

force and energy

distance와 speed는 방향을 가지지 않으며 양수이다. displacement와 velocity는 방향을 가지고 음수일 수 있다. 물체의 궤적을 파악하는 방법은 궤적의 각 순간을 분석하는 것이다. 각 순간의 일차 근사, 즉 differentiation(미분)을 정의하려면 distance 대신에 displacement가, speed 대신에 velocity가 필요하다. velocity의 시간 미분은 acceleration이다. 마찰을 무시하면 등속도 운동하는 물체는 영원히 등속도 운동하므로 물체의 속도는 관찰자에 의존한다고 보아도 좋다. 하지만 시간에 따른 속도의 변화, 즉 가속도가 있을 때에 물체의 운동을 생각하려면 관찰자에 따라서 fictitious force를 도입하여야 한다. 따라서 물체의 운동에 필요한 자원은 물체의 질량에 비례하고, 물체의 가속도에 비례하며, 가속도가 유지되어 물체가 이동한 거리에 비례한다고 써 볼 수 있다. 다른 변수들을 배제하고 이 양을 energy라고 정의한다. 에너지의 SI unit은 joule이다.

$1\ \text{J}=1\ \text{kg} \cdot (\text{m/s}^2)\cdot \text{m}$

각 좌표마다 높이나 온도를 할당시켜 에너지의 분포를 표현할 수 있듯이 각 위치 또는 상태에서의 시간에 따른 에너지의 분포가 주어지므로 물체의 운동을 분석하는 또 한 가지 방법은 물체의 운동에 필요한 에너지의 전달 과정에서 각 지점을 분석하는 것이다. energy의 공간 미분을 force라고 정의한다. 힘의 SI unit은 newton이다.

$F(x,\ t)=-\nabla E(x,\ t)$

즉 $F=ma$는 에너지의 공간 미분 벡터가 운동량 벡터의 시간 미분과 일치한다는 뜻이다. 위치 또는 상태 $x$를 나타내는 에너지 $E(x)$를 계의 potential이라고 한다. 물체의 변화에 의해서 potential로부터 얻는 에너지는 $\displaystyle \int_0^x F\ dx= \int_0^x m \frac{dv}{dt}\frac{dx}{dt} dt=\int_0^v mv\ dv=\frac{1}{2}mv^2$이다. 또는 $\displaystyle \int_0^x F\ dx=max$이고 등가속도 운동이라 가정할 때 $v^2=2ax$이므로 $\displaystyle max=\frac{1}{2}mv^2$이다. $E(x)$가 시간에 따라서 변하지 않으면 potential로부터 얻는 에너지는 물체의 변화로 벌어진 $E(0)$과 $E(x)$의 차이일 뿐이다. 이를 mechanical energy가 보존된다고 한다. force에서와 다르게 모든 속도는 상대 속도이므로 energy는 의미가 없으며 두 energy의 차이가 의미를 가진다.

center of mass

앞의 모든 계산에서는 물체가 공간 상의 한 점일 뿐이라는 가정을 해 왔다. 질량이 주어진 점들이 시간 변화에 대해서 보존하는 물리량이 에너지이고, 위치 변화에 대해서 보존하는 물리량이 momentum(운동량)이다. $F=ma$에 대해서 운동량은 $mv$에 해당하며, 이는 Newton's laws가 유도하는 운동량 보존 법칙에 따라서 속도보다 본질적이라고 여겨진다. 물체가 부피를 가진 rigid body이면 운동량 보존 법칙을 적용하기 위해서 위치 변화에 대해서 이 물체를 대체할 수 있는 공간 상의 한 점에 질량을 몰아 줄 수 있는데, 이 점을 center of mass(질량 중심)라 한다.

모든 속도는 상대 속도이므로 운동량은 의미가 없으며 두 운동량의 차이가 의미를 가진다. 이를 impulse(충격량)라고 하며, 힘의 시간 적분이기도 하다.

rotation

물체가 부피를 가진 rigid body이면 물체의 궤적에 변화가 없어도, 즉 외력의 합이 $0$이어도 물체 자체가 회전할 수 있다. 이번에는 역으로, 질량이 주어진 점들이 회전 변화에 대해서 보존하는 물리량을 따로 가진다고 생각해 볼 수 있다. 뉴턴의 제3 법칙에 추가적인 가정을 하여 각운동량 보존 법칙을 유도할 수 있으나 Lagrangian mechanics와 Hamiltonian mechanics에서는 generalized coordinates에서 generalized momentum을 도입하여 이러한 gap을 차단한다. 다시 rigid body로 돌아오면, 각운동량 보존 법칙을 적용하기 위해서 회전 변화에 대해서 관성 모멘트를 도입하여 질량 중심에 몰아 줄 수 있다. 각속도의 방향을 회전축으로 하여 회전 반경을 무한대로 보낼 때 angular momentum은 어쩌면 linear momentum을 포함한다. 전자와 같이 부피를 가지지 않는 한 점으로 간주되는 입자에 대해서는 관성 모멘트를 생각하지 않으나 궤도 각운동량과 spin을 가진다.

$\R^3$의 두 벡터 $a,\ b$에 대해서 $a^T(a\times b)=b^T(a\times b)=0$이고 사잇각 $\theta$가 $\|a\times b\| = \sqrt{(b^Tb)(a^Ta)-(a^Tb)^2}=\|a\|\|b\|\sin\theta$를 만족하는 $\R^3$의 pseudovector $a\times b$를 두 벡터의 cross product라고 한다. 이를 벡터로 만들기 위해서 방향을 줄 수 있으며 positively-oriented일 때 right-hand rule을 따른다. 즉 오른손으로 $a$에서 $b$를 향해 네 손가락을 돌려 쥘 때 엄지 손가락의 방향이 $a\times b$의 방향이다. $a$에서 $b$로 향하는 방향이 반시계 방향이면 마주 보는 면의 앞을 향하고 $a$에서 $b$로 향하는 방향이 시계 방향이면 마주 보는 면의 뒤를 향한다. orthonormal basis가 주어졌을 때 기저의 방향은 양의 방향이므로 cross product $a\times b$의 각 성분은 해당하는 성분을 제외한 두 성분을 교대로 곱하여 부호를 붙이고 서로 더한 것과 같다.

참고 자료

• David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fundamentals of Physics.
• Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands. The Feynman Lectures on Physics.
• Leonard Susskind. Theoretical Minimum.