다변수 함수의 미분

실수 범위에서 다변수 함수란 $f:\R^n\to \R$의 정의역을 일부 사용하는 함수이다. 특히 $f:\R^2\to \R$은 삼차원 좌표에서 도형을 표현하는 데 유용하다. 일변수 함수 $f:\R\to\R$의 $[x,\ x+h]$에서의 평균변화율은

$\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

로 잘 알려져 있다. 변수가 하나일 때에는 $x$축 방향으로 가는 수밖에 없지만, 변수가 여러 개일 때에는 $n$개의 축이 있어 $x=(x_1,\ ...,\ x_n)$가 원하는 벡터 $v$의 방향으로 갈 수 있다. 이때 평균변화율은 $x$가 벡터 $v$의 방향으로 $1$만큼 변할 때 $f(x)$가 변화하는 정도에 해당한다. 예를 들어 $f(x)=a_ix_i+b$에 대해서 $\lVert v\rVert=1$인 $v$ 방향으로의 변화량 $h$에 해당하는 평균변화율은

$\displaystyle \frac{f(x+hv)-f(x)}{h}=\sum_i \frac{a_i(x_i+hv_i)-a_ix_i}{h}=\sum_i a_iv_i$

이다. 여기에 $h\to 0$을 취하면 순간변화율 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}$가 되는데, 만약 $v$가 다음과 같은 꼴이라면

$x_i=(0,\ \cdots,\ 1,\ \cdots,\ 0)$

이를 $x_i$에 대한 partial derivative(편미분)이라 한다.