복소수

실수 $a,\ b$에 대해서 $a+bi$는 complex number(복소수)이다. 이는 더 간단히 할 수 없는 하나의 수로서 ordered pair $(a,\ b)$로 생각할 수 있다. 다만 $(0,\ 1)=0+1i=i$는 다음 성질을 가진다:

$i^2=-1$

따라서 복소수를 식 $a$와 식 $bi$의 합처럼 연산할 수 있다. 예를 들어 $(1+3i)(2+4i)=2+4i+6i-12=-10+10i$이다. 이렇게 모든 두 복소수 $(a,\ b),\ (c,\ d)$에 덧셈 $(a+c,\ b+d)$과 곱셈 $(ac-bd,\ ad+bc)$을 정의하면 복소수 전체는 field(체)를 이룬다. 이를 $\C$라고 쓰며 $\C$는 실수체 $\R$을 부분체로 가진다.

$b=0$이면 real number이다. $b\neq 0$일 때 imaginary number(허수)라고 하며 $a=0$인 허수를 pure imaginary number(순허수)라고 부른다. 복소수는 이차 방정식의 해를 구할 때 나타나며, 현실성을 따지자면 실수와 똑같이 현실적이거나 비현실적이다. 평면에서 position(위치 벡터)의 곱셈을 정의하는 commutative ring에는 복소수 외에도 split complex number(분할 복소수)와 dual number(이원수)가 있다.

복소 평면

ordered pair $a+bi=(a,\ b)$는 평면 $\R^2$의 한 점이다. 복소수는 순서체가 아니지만 다음과 같은 absolute value(절댓값) 또는 modulus를 줄 수 있다:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

즉 복소수의 절댓값은 원점에서 떨어진 거리이다. 여기에서 $x$축을 real axis, $y$축을 imaginary axis라고 한다. 원점에서 떨어진 거리를 알면 그 자취는 원이고 이제 어떤 축에 대한 사잇각을 알면 그 복소수를 하나로 정할 수 있다. positive real axis에 대한 사잇각을 argument(편각) $\arg z=\theta$이라고 한다. 이 값을 구하는 방법은 여러 가지이다:

• $\displaystyle \left|\tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)\right|<\frac{\pi}{2}$에 대해서 $\displaystyle \theta=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$이다. $\displaystyle \pm\frac{\pi}{2}=\tan^{-1} \left(\frac{\pm|z|}{0}\right)$를 추가하여 검사할 수 있다.
• $\displaystyle \left|\tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)\right|<\pi$에 대해서 $a\geq 0$일 때 $\displaystyle \frac{\theta}{2}=\tan^{-1}\frac{b}{|z|+a}$이다. 이는 탄젠트 반각 공식이며 $\displaystyle \sin\theta=\frac{b}{|z|},\ \cos\theta=\frac{a}{|z|}$이다.
• $\displaystyle \left|\tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)\right|<\pi$에 대해서 $a<0$일 때 $\displaystyle \frac{\theta}{2}=\tan^{-1}\frac{|z|-a}{b}$이다. $\displaystyle \pm\pi=\tan^{-1} \left(\frac{0}{-|z|}\right)$를 추가하여 검사할 수 있다.

이 함수는 정의역이 실수일 때 $\operatorname{atan2}:\R^2\setminus O\to (-\pi,\ \pi]$이고 정의역이 복소수일 때 $\operatorname{Arg}:\C\setminus 0\to (-\pi,\ \pi]$이다. $\operatorname{Arg}(z)$를 $z$의 princial value(주치)라고 한다. 복소수 하나가 가지는 argument는 $2\pi$를 주기로 countably infinite하지만 principal value는 유일하다. 이제 argument $\theta$에 대해서 허수에 대한 exponential 또는 $\operatorname{cis}(\theta)$라고도 부르는 함수

$\exp(i\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$

를 도입하면 모든 복소수는 다음과 같이 쓸 수 있다:

$z=|z|\exp(i\operatorname{Arg} z)$

이를 복소수의 polar form(극형식)이라고 한다. polar form을 주는 평면을 complex plane(복소 평면), $z$-plane, Argand plane, Gauss plane 등으로 부르며 모두 같은 뜻이다.

복소 지수

앞에서 $\exp(i\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$로 정의한 배경에 대해서 생각해 보자. Euler's formula(오일러의 공식)라고 불리는 이 식은 정리가 아니라 정의이다. 따라서 이 식은 증명이 필요하지 않으나, 어떻게 정의한 것인지 혹은 정의에 문제가 없는지 얘기해 볼 수는 있을 것이다. 우선 양수 $c$와 실수 $x$에 대해서, 지수 함수 $f(x)=c^x$는 다음 Cauchy's functional equation

$f(x+y)=f(x)f(y)$

를 만족하는 유일한 Lebesgue measurable function이다. 이러한 방정식을 만족하는 예시는 infinite series의 convolution인 Cauchy product에서 등장한다. Mertens' theorem에 의해 다음이 성립한다:

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a+b)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}a^k b^{n-k}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{n!}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b^n}{n!}$

그런데 이항 정리는 복소수에서도 성립하기 때문에 복소수 $z$에 대해서도 똑같이 지수 함수를 정의할 수 있다.

$\displaystyle \exp z=e^z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$

이때 지수 함수의 밑은 항상 $\exp(1)=2.718\cdots$이다. 이를 Euler's number, Napier's constant, 한국어로는 자연 상수 등으로 부르며 $e$라고 쓴다. $e^z e^{-z}=e^0=1$이므로 이 함수는 복소수 전체에서 zero를 가지지 않는다. 이제 실수 $x$에 대해서 $z=ix$를 대입하면 $|e^{ix}|^2=1$에서 $|e^{ix}|=1$을 얻는다. 즉, $e^{ix}$는 complex plane에서 단위원 위에 있다. $e^{ix}$의 실수부를 $\cos x$, 허수부를 $\sin x$라 하면 무한급수를 관찰하여

• $\displaystyle \operatorname{Re} e^{ix}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
• $\displaystyle \operatorname{Im} e^{ix}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

를 알 수 있다. 둘 모두 미분 방정식 $f''=-f$을 만족하므로 흔히 알려진 삼각 함수와 일치한다. $\cos x=0$인 가장 작은 양수를 $\pi/2$라고 정의하면 $\sin(\pi/2)=1$이므로 $e^{i\pi/2}=i$를 얻는다. $i$의 거듭제곱은 주기성을 가지므로 모든 복소수 $z$에 대해서 $e^{z+2\pi i}=e^z$이다. 지수 함수가 연속이므로 모든 복소수 $z\neq 0$에 대해서 $z=e^{a+bi}$인 실수 $a,\ b$를 잡을 수 있으며, $e^a$는 복소수의 절댓값이고 $e^{bi}$는 복소수의 편각이다. 그러므로 위 함수는 $\exp:\C\to\C-\{0\}$에서 잘 정의된다.

켤레 복소수

• 복소수 $z=a+bi$에 대해서 complex conjugate(켤레 복소수, 복소 켤레) $\overline{z}=a-bi$를 정의하면 $\overline{\overline{z}}=z,\ |\overline{z}|=|z|,\ z\overline{z}=|z|^2$이다. 따라서 $0$이 아닌 복소수 $z=a+bi$의 multiplicative inverse는 $\displaystyle z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$이고 $\displaystyle \overline{\exp(i\theta)}=\exp(-i\theta),\ \exp(i\theta)=\frac{z}{|z|}=\sqrt{\frac{z}{\overline{z}}}$이다.
• 두 복소수 $z,\ w$에 대해서 $f$가 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈일 때, 그리고 real number를 real number로 보내는 holomorphic function일 때 $\overline{f(z,\ w)}=f(\overline{z},\ \overline{w})$이다. 따라서 $|zw|=|z||w|$의 증명은 $|zw|^2=zw\overline{zw}=z\overline{z}w\overline{w}=|z|^2|w|^2$로 단순해진다.
• absolute value를 complex conjugate로 바꾸는 것은 유용하다. 예를 들어 원의 방정식 $|z-z_0|=R$의 양변을 제곱하면 $z\overline{w}+\overline{z}w=2\operatorname{Re}z\overline{w}$이므로 $(z-z_0)(\overline{z}-\overline{z_0})=|z|^2+2\operatorname{Re}z\overline{z_0}+|z_0|^2=R^2$이고, 쌍곡선의 방정식 $a^2-b^2=1$은 복소수 $z=a+bi$에 대해서 $\displaystyle \frac{z^2+\overline{z}^2}{2}=1$이다. 또한 $2\operatorname{Re}z\overline{w}\leq 2|z\overline{w}|=2|z||w|$에서 삼각 부등식 $|z+w|^2\leq(|z|+|w|)^2$을 얻으므로 삼각형의 한 변의 길이는 두 변의 길이의 합보다 작고 두 변의 길이의 차보다 크다.
• 두 복소수 $z,\ w$의 absolute value가 같다는 것은 적당한 두 복소수 $c_1,\ c_2$를 잡아 $z=c_1c_2, \ w=c_1\overline{c_2}$로 놓을 수 있다는 뜻이다. 역방향은 $|\overline{z}|=|z|$로 보일 수 있고 순방향은 $c_1=|c_1|e^{i(\theta_1+\theta_2)/2},\ c_2=|c_2|e^{i(\theta_1-\theta_2)/2}$를 대입하여 보일 수 있다. 따라서 $z$와 $z/w$를 알면 $w$를 결정할 수 있다.

삼각 함수와 관련한 성질들

• 지수 법칙 $e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}$는 삼각 함수의 덧셈 정리이다. 이는 $\displaystyle \arg(zw)=\arg z+\arg w,\ \arg\left(\frac{z}{w}\right)=\arg z+\arg\left(\frac{1}{w}\right)=\arg z-\arg w$를 뜻한다. $\operatorname{Re} z,\ \operatorname{Re} w>0$일 때 principal value에 대해서도 성립한다.
• 정수 $n$에 대해서 $z^n=r^n e^{in\theta}$과 같다. 이는 $n$에 대한 수학적 귀납법 $z^{n+1}=r^ne^{in\theta}re^{i\theta}=r^{n+1}e^{i(n\theta+\theta)}$으로 보일 수 있다. 이때 $r=1$을 취하면 de Moiver's formula(드무아브르의 공식) $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$이다. $n=2$에서 배각 공식 $\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta,\ \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$을 유도할 수 있다.
• 반각 공식과 덧셈 정리로 기하 급수 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=\operatorname{Re}\frac{1-e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i\theta}}=\frac{1-\cos\theta-\cos(n\theta+\theta)+\cos n\theta}{2-2\cos\theta}=\frac{1}{2}+\frac{-\cos(n\theta+\theta)+\cos n\theta}{4\sin^2\frac{\theta}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{\sin\frac{(2n+1)\theta}{2}}{2\sin\frac{\theta}{2}}$를 계산할 수 있다. 이를 Lagrange's trigonometric identity라고 하며, Dirichlet kernel에 쓰인다.
• 이항 정리에 따라서 de Moiver's formula는 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\cos^{n-k}\theta\ (i\sin^k \theta)=\cos n\theta+i\sin n\theta$로 쓸 수 있다. $i$의 거듭제곱은 주기성을 가지고 $i^{2n}=(-1)^n$이므로 이 식의 real part는 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{n\choose 2k}\cos^{n-2k}\theta\ (-1)^k\sin^{2k}\theta=\cos n\theta$이다. 이를 Chebyshev polynomials(체비쇼프 다항식) of the first kind $T_n$이라고 하며, 그 미분 $T'_n/n$을 Chebyshev polynomials of the second kind $U_{n-1}$이라고 한다.