행렬식

정사각 행렬을 행 교환 없이 triangular matrix로 소거하였을 때 pivot의 곱은 determinant(행렬식, 결정자)이다. 이는 가우스 소거법에서 정의한 것이다. 구체화하면 determinant는 다음을 만족시켜야 한다:

1. $\det I=1$
2. 행 교환 또는 열 교환을 하면 부호가 바뀐다.
3. 한 행 또는 한 열에 어떤 scalar를 곱하고 어떤 벡터를 더하면 multilinear이다. 예를 들어 $[A']_i=c_1[A]_i+c_2v$라 하면 $\det A'=c_1\det A+c_2\det([A]_1\ \cdots\ v\ \cdots\ [A]_n)$이다.

두 번째 성질을 예를 들어 확인해 보겠다. $\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$를 upper triangular matrix로 만들려면 첫째 행에 $1/2$을 곱해 둘째 행에서 빼야 한다. 그러면 $\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 0 & 1.5\end{pmatrix}$이므로 determinant는 $9$이다. 행 교환을 하여 $\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 5\end{pmatrix}$를 upper triangular matrix로 만들려면 첫째 행에 $2$를 곱해 둘째 행에서 빼야 한다. 그러면 $\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & -3\end{pmatrix}$이므로 determinant는 $-9$이다.

따라서 다음이 성립한다.

• 두 행 또는 두 열이 서로 같으면 행 교환 또는 열 교환을 해도 행렬식의 부호가 바뀌지 않으므로 행렬식은 $0$이다.
• 한 행 또는 한 열에 다른 행 또는 다른 열의 scalar배를 더하면 행렬식이 바뀌지 않는다. 다른 행을 $v$라 할 때 $\det A'=\det A+c\det([A]_1\ \cdots\ v\ \cdots\ [A]_n)$에서 $v$는 어떤 $[A]_i$이므로 두 행이 서로 같아지기 때문에 $\det A'=\det A$이다.
• 한 행 또는 한 열의 모든 성분이 $0$이면 다른 행 또는 다른 열을 더하여 두 행 또는 두 열이 서로 같아지게 할 수 있으므로 행렬식은 $0$이다.