군 준동형사상

group $G,\ H$에 대해서 함수 $f:G\to H$의 모든 원소가

$g_1\mapsto h_1,\ g_2\mapsto h_2,\ g_1\cdot_G g_2\mapsto h_1\cdot_H h_2$

를 만족하면 group homomorphism(군 준동형사상)이라고 한다. $f(g_1,\ g_2)=(f(g_1),\ f(g_2))$으로 정의할 때 이는 다음 commutative diagram을 만족시킨다:

$f(g_1\cdot_G g_2)=f(g_1)\cdot_H f(g_2)\iff \require{AMScd}\begin{CD} G^2 @>{\cdot_G}>> G\\ @V f VV = @VV f V\\ H^2 @>{\cdot_H}>> H\end{CD}$

inverse morphism이 존재하면 isomorphism(동형 사상)이라고 하며 그러한 함수가 존재하는 두 group을 isomorphic(동형)이라 한다. 동형인 두 군을 $G\cong H$라 쓰고 군으로서 같다고 취급한다.

image와 kernel

• homomorphism $f:G\to H$의 kernel은 $G$의 subgroup이고 image는 $H$의 subgroup이다.
• $\varphi:G\to H$가 group homomorphism이면 $k\in \ker \varphi$일 때 $\varphi(g^{-1}kg)=\varphi(g^{-1})\varphi(k)\varphi(g)=e$이므로 $\ker \varphi \triangleleft G$이다.
• homomorphism의 kernel에 $e$밖에 없으면 $f(x)=f(y)$일 때 $f(x)\{f(y)\}^{-1}=e$에서 $xy^{-1}=e$이므로 monomorphism이다.
• homomorphism $f:G\to H$가 $G$의 generating set을 $H$의 generating set으로 옮기면 $f$가 epimorphism이다.
• group $G$가 cyclic이면 homomorphism $\varphi:G\to H$의 image $\varphi(g^n)=\varphi(g)^n$는 cyclic이다.
• group $G$에 대해서 homomorphism $\varphi:\Z\to G,\ n\mapsto g^n$의 kernel은 infinite cyclic group의 subgroup이다.

예시들

• $n\geq 2$일 때 $\operatorname{sgn}:S_n\to\mu_2$는 epimorphism이고 $\ker\operatorname{sgn}$은 alternative group이다.
• exponential $\exp:(\R,\ +)\to(\R_{>0},\ \cdot)$과 logarithm $\log:(\R_{>0},\ \cdot)\to (\R,\ +)$는 group isomorphism이다.
• identity map $\id_G:G\to G,\ g\mapsto g$는 isomorphism이다.
• trivial map $e:G\to K,\ g\mapsto 1$은 homomorphism이다.
• $H$가 $G$의 subgroup일 때 natural embedding $\iota:H\to G,\ h\mapsto h$는 monomorphism이다.
• $H$가 $G$의 subgroup일 때 group homomorphism $\varphi:G\to K$의 restriction $\varphi|_H:H\to K,\ h\mapsto \varphi(h)$는 homomorphism이다.

이들 homomorphism은 전부 group homomorphism이다. 모든 함수는 set들의 category에서 homomorphism이지만, 정의역과 공역이 group을 이루지 않거나, group을 이루더라도 두 group 사이에 연산을 보존하지 않으면 group들의 category에서 homomorphism, 즉 group homomorphism이 아니다. 각 category마다 homomorphism을 다르게 정의하는데, 어떠한 algebraic structure의 homomorphism인지 일일이 명시하면 혼란을 줄일 수 있지만 편의상 생략해 쓰고는 한다.