위상 공간

집합 $X$의 모든 부분 집합에 boundary가 주어지면 공간 $X$에서 어떤 부분 집합이더라도 안과 밖을 나눌 수 있는 도형으로 취급할 수 있다. boundary를 부여하는 함수 $\partial:\mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(X)$는 모든 $A\subset X$에 대해서 다음을 만족시켜야 한다:

1. 경계의 경계는 경계를 벗어나지 못한다. 즉 $\partial \varnothing=\varnothing$이고 $\partial A\subset\partial(X-A)$이고 $\partial (A\cup \partial A)\subset \partial A$이다.
2. subset의 경계는 superset의 경계를 벗어나지 못한다. 즉 $A$의 subset의 경계는 $A\cup \partial A$의 subset이다.
3. 합집합의 경계는 생기는 부분이 없으나 사라지는 부분이 있을 수 있다. 즉 $\partial(A\cup B)\subset \partial A\cup \partial B$이다.

이러한 $(X,\ \partial)$을 topological space(위상 공간)라고 한다. 집합 $X$의 각 subset의 boundary를 무엇으로 삼을지에 따라서 서로 다른 위상을 주면 서로 다른 위상 공간이다. 예를 들어 $\R^2$에서 사각형의 경계가 네 모서리인지는 주어진 위상에 따라서 다르다. 주어진 위상을 언급하지 않고 위상 공간 $\R^n$처럼 쓸 때에는 집합에 standard topology가 주어진 것이다. 문맥에 따라서 적절한 common topology들이 있으며 이들을 편의상 생략해 쓰고는 한다.

위상 공간에는 separation axiom이나 metric, norm, inner product 등이 붙은 경우가 많다. 대표적으로 $\R^n$은 inner product를 가지며, 위상 공간만 있는 것보다 다채롭다. 위상은 이들을 받치는 뼈대라고 생각할 수도 있다.

boundary

성질들

• $\partial A\subset\partial(X-A)$의 $A$에 $X-A$를 대입하면 $\partial(X-A)\subset\partial A$이다. 즉 여집합의 경계는 일치하므로 $A\cap\partial A=\partial A$를 가정하면 $(X-A)\cap\partial A=\varnothing$이다.
• $\partial A\subset A\cup\partial A$의 $A$에 $A\cup \partial A$를 대입하면 $\partial\partial A\subset (A\cup \partial A)\cup\partial(A\cup\partial A)$이다. 첫 번째 조건을 적용하면 $\partial\partial A\subset A\cup\partial A$이고 $A$에 $X-A$를 대입하면 $\partial\partial A\subset (X-A)\cup\partial A$이므로 $\partial\partial A\subset \partial A$이다.
• $A\cap\partial A=\partial A$를 가정하면 $X-A\subset X-\partial A$이다. 두 번째 조건을 적용하면 $\partial(X-A)\subset (X-\partial A)\cup\partial(X-\partial A)$이고 $\partial A\subset (X-\partial A)\cup\partial\partial A$이다. 그런데 $\partial A\cap (X-\partial A)=\varnothing$이므로 $\partial A\subset \partial\partial A$이다. $A\cap\partial A=\partial A$일 때 $\partial\partial A=\partial A$이므로 $\partial\partial\partial A=\partial\partial A$이다. $\partial A\neq \partial (A\cup\partial A),\ \partial A\neq \partial (A-\partial A)$를 유의해야 한다. 예를 들어 $\R$에서 $\partial \Q=\R$이고 $\partial \R=\varnothing$이다.

closure

$A\cup\partial A$를 $A$의 closure(폐포, 닫힘)라 하고 $\overline{A}$로 쓴다. boundary를 부여하는 함수로부터 closure를 부여하는 함수의 조건을 얻을 수 있다.

1. $A\subset B$를 가정하면 두 번째 조건을 적용하여 $\partial A\subset B\cup\partial B$이고 가정에 따라서 $A\cup\partial A\subset B\cup\partial B$이다. 따라서 $\overline{A}\subset\overline{B}$이다.
2. $\overline{\overline{A}}=(A\cup \partial A)\cup\partial(A\cup\partial A)$에 세 번째 조건을 적용하면 $\overline{\overline{A}}\subset A\cup\partial A\cup\partial\partial A$이고 첫 번째 조건을 적용하면 $\overline{\overline{A}}\subset\overline{A}$이다. $A\subset \overline{A}$이므로 $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$이다.
3. 세 번째 조건에 따라서 $\overline{A\cup B}\subset\overline{A}\cup\overline{B}$이다. $A\subset A\cup B,\ B\subset A\cup B$이므로 두 번째 조건을 적용하여 $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$이다.

interior, exterior, open, closed, clopen

집합 $X$가 위상 공간이면 모든 subset $A$마다 경계, 폐포, 내부, 외부를 알 수 있어야 하고, open set, closed set, clopen set인지를 판별할 수 있어야 한다. open set도 closed set도 아닌 subset은 boundary의 일부를 가지는 집합이다.

• $A-\partial A$를 $A$의 interior(내부) $A^{\circ}$, $(X-A)-\partial A$를 $A$의 exterior(외부)라고 한다.
• $A^{\circ}\subset A\subset \overline{A}$이고 $A^{\circ}\subset \left(\overline{A^{\circ}}\right)^{\circ}\subset \overline{\left(\overline{A}\right)^{\circ}}\subset \overline{A}$이다. $\left(\overline{A^{\circ}}\right)^{\circ}\subset \overline{A^{\circ}},\ \left(\overline{A^{\circ}}\right)^{\circ}\subset\left(\overline{A}\right)^{\circ}$이고 $\overline{A^{\circ}}\subset\overline{\left(\overline{A}\right)^{\circ}},\ \left(\overline{A}\right)^{\circ}\subset\overline{\left(\overline{A}\right)^{\circ}}$이다.
• $\partial A\cap A=\varnothing$일 때 $A$를 open set(열린 집합)이라고 한다. 즉 열린 집합은 boundary를 가지지 않는 집합이다.
• $\partial A\cap A=\partial A$일 때 $A$를 closed set(닫힌 집합)이라고 한다. 즉 닫힌 집합은 boundary를 온전히 가지는 집합이다.
• $\partial A=\varnothing$일 때, $A$를 clopen set이라고 한다. 즉 열린 집합이면서 닫힌 집합이면 boundary를 가질 수 없는 집합이다.

open set

위상 공간 $X$의 topology(위상)를 정의하는 방법은 여러 가지이다. boundary를 부여하는 함수 $\partial$을 $X$의 위상이라고 할 수도 있다. 그런데 boundary, open set, closed set, neighborhood, closure, interior 등 위상 공간에서 나오는 기본 요소들 가운데 동치인 조건들로 하나만 정의하면 자연스럽게 나머지 모두를 정의할 수 있다. 일반적으로는 boundary를 가지고 있지 않은 집합, 즉 open set들의 집합을 $X$의 위상이라고 한다. 조건이 간결하며 function을 만들기보다 집합의 원소를 직접 넣는 편이 편할 때가 있다.

1. $\varnothing,\ X$는 open set이다.
2. open set의 유한 교집합은 open set이다.
3. open set의 유한, 무한 합집합은 open set이다.

De Morgan's laws에 따라서 closed set이 만족하는 조건을 알 수 있다.

1. $\varnothing,\ X$는 closed set이다. 즉 이들은 clopen set이다.
2. open set의 유한, 무한 교집합은 closed set이다.
3. open set의 유한 합집합은 closed set이다.

교집합과 합집합에 관한 조건이 다르다는 사실은 극한과 연결지을 수 있다. $\R^n$의 열린 집합 안에서는 열린 집합을 벗어날 수 없게 하는 (작은) 움직임의 한계를 정할 수 있지만, 닫힌 집합 안에서는 경계에 있다면 움직임의 한계가 $0$일 수밖에 없다. 주어진 위상에 따라서, open set을 무한 교집합하거나 closed set을 무한 합집합하면 closed set이나 open set이 될 수도 있고 안 될 수도 있다.

closure로부터 closed set의 조건을 유도할 수 있음을 증명해 보자. closed set들의 집합을 Kuratowski closure operator로부터 이끌어낼 수 있고, $\partial A=\overline{A}\cap\overline{X-A}$는 boundary로 정의할 수 있다.

neighborhood

$A\subset N-\partial N$인 $N\subset X$을 $A$의 neighborhood(근방)라 하고 singleton $\{x\}$의 neighborhood들의 집합을 $\mathcal{N}_x$라 한다. neighborhood가 open set일 조건은 $A\subset N$인 open set $N$이다.

• $A\subset X$에 대해서 singleton $\{x\}\subset X$의 모든 (작은) (open) neighborhood가 $x$를 제외하고 $A$와 한 개 이상의 점을 공유할 때, 즉 $x$가 극한값이 될 수 있을 때 limit point(극한점)라 한다. 이러한 $x$들의 집합 $A'$를 $A$의 derived set(도집합)이라고 한다. $x\in A-A'$를 $A$의 isolated point(고립점)라고 하며, singleton $\{x\}$가 open일 때 $x\in X-X'$이다.
• subset이 open인지 closed인지는 universe에 따라서 상대적이다. $B\subset X$에서 $A\subset B$가 open이라는 것은 $B\cap C=A$인 open set $C\subset X$를 잡을 수 있다는 뜻이고, closed set도 마찬가지다. 예를 들어 $\R$의 standard topology에서 $B=\{1\}\cup (2,\ 3]$를 전체 집합처럼 생각하면 $\partial B=\varnothing,\ \partial\{1\}=\varnothing,\ \partial\{3\}=\{3\}$이다. 따라서 $\{1\}$은 $A$에서 clopen이고 isolated point이다. 정의에서 $A'\subset\overline{A}$이고, derived set과 isolated point들의 합집합은 $\overline{A}$를 이룬다. 다른 공간에서 isolated point는 boundary일 수도 있고 interior일 수도 있다.
• $A\cup A'=X$일 때, 즉 $\overline{A}=X$일 때 $A$는 $X$에서 dense(조밀)라 한다. 예를 들어 $\R$의 standard topology에서 각 무리수의 open neighborhood는 주위의 유리수를 가지고, 각 유리수의 open neighborhood는 주위의 무리수를 가지므로 유리수 집합과 무리수 집합은 실수 집합에서 dense하다.