리만 재배열 정리｜실수열을 조작하여 조건 수렴 급수를 어떤 수로든 수렴하게 할 수 있다.

전단사 함수 $f:\N\to \N$를 잡아서 수열 $a_n$을 새로운 수열 $a_{f(n)}$으로 만드는 것을 rearrangement(재배열)라고 한다. 수열 $a_n$의 급수가 absolutely convergent(절대 수렴)이면 모든 $\epsilon>0$에 대해서, $b\geq a\geq N$일 때 $n=a$에서 $n=b$까지 $|a_n|$의 합이 $\epsilon$보다 작은 적당한 큰 수 $N$을 잡을 수 있다. 재배열 $a_{f(n)}$을 생각하면 $\{1,\ 2,\ \cdots,\ N\}\subset \{f(1),\ f(2),\ \cdots,\ f(m)\}$인 $m$을 잡을 수 있는데, 부분합을 $m$보다 큰 수까지 구하면 $a_n$의 부분합과 $a_{f(n)}$의 부분합의 차는 적당한 큰 수 $N$보다 큰 곳에서 생기므로 모든 $\epsilon>0$에 대해서 보다 작게 만들 수 있다. 즉 절대 수렴하는 급수는 재배열해도 같은 값으로 수렴한다.

이렇게 재배열해도 같은 값으로 수렴하는 급수를 unconditional convergence(무조건 수렴)라 하며 그렇지 않은 급수를 conditional convergence(조건 수렴)이라고 한다. 주어진 topological vector space에 따라서 무조건 수렴이면서 절대 수렴이 아닌 급수를 찾을 수도 있다. 그러나 $a_n$이 실수 또는 복소수열이면 그런 예는 없고, 절대 수렴이 아닌 모든 수렴 급수를 재배열로 발산시킬 수 있다. 특히 $a_n$이 실수열이면 어떤 수로도 수렴시킬 수 있다. 즉 모든 $-\infty\leq \alpha\leq\beta \leq \infty$에 대해서 다음이 성립하는 $f(n)$을 잡을 수 있다:

$\displaystyle \liminf_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} a_{f(k)}=\alpha,\ \limsup_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} a_{f(k)}=\beta$

이를 Riemann rearrangement theorem(리만 재배열 정리)이라고 한다.

증명

자연수 집합 $\N$을 두 개로 분할하여 한쪽을 $\infty$로, 한쪽을 $-\infty$로 발산하게 만들자. $p_n=(|a_n|+a_n)/2,\ q_n=(|a_n|-a_n)/2$로 정의하면 $p_n$은 양수일 때만 $|a_n|$이고 $q_n$은 음수일 때만 $|a_n|$이며 나머지는 $0$이다. $p_n+q_n=|a_n|$이고 $p_n-q_n=a_n$이므로 둘 모두 급수가 발산한다.

$p_n$에서 $q_n=0$인 경우만 남기고 $q_n$에서 $q_n=0$인 경우를 제거하여 새로이 정의하자. 그러면 재배열 $p_{g(n)}$과 $q_{h(n)}$에 대해서 급수

$p_1+\cdots+p_{g(1)}-(q_1+\cdots+q_{h(1)})+p_{g(1)+1}+\cdots+p_{g(2)}-\cdots$

는 $a_n$의 재배열의 급수이다. 이를 원하는 값으로 수렴 또는 발산시키기 위해서 $g(n)$과 $h(n)$의 값을 일일이 정의해 줄 것이다. 이제 $\alpha,\ \beta$로 수렴하는 실수열 $\alpha_n,\ \beta_n$을 생각하고 $\alpha_n<\beta_n$이라 하자. $\beta_1>0$로 시작해서 $g(1)$을 $p_1+\cdots+p_{g(1)}>\beta_1$인 가장 작은 자연수로 정의하고 $h(1)$을 $p_1+\cdots+p_{g(1)}-(q_1+\cdots+q_{h(1)})<\alpha_1$인 가장 작은 자연수로 정의하자. 그 뒤도 마찬가지로 더하고 뺄 때마다 $g(2),\ h(2),\ \cdots$을 $\beta_2,\ \cdots$보다 크고 $\alpha_2,\ \cdots$보다 작게 되는 가장 작은 자연수로 정의하자. $p_n$과 $q_n$의 급수가 발산하므로 원하는 만큼 키우고 줄이는 작업을 반복할 수 있다. $a_n$이 $0$으로 수렴하므로 $p_n$과 $q_n$도 $0$으로 수렴하고, 재배열의 부분합의 하극한과 상극한을 $\alpha,\ \beta$로 만들 수 있다.

참고 자료

• Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis.