보어-몰러럽 정리｜로그 볼록인 팩토리얼의 확장, 즉 감마 함수는 유일하다.

From Beloveds

$\mathrm{Re}\ s>0$일 때 factorial의 가장 흔한 확장은 다음과 같다:

$\displaystyle \Gamma(s)=(s-1)!=\int_0^1(-\ln t)^{s-1}\ dt =\int_0^\infty t^{s-1} e^{-t} dt$

analytic continuation으로 양이 아닌 정수를 제외한 모든 복소수에 대해서 정의할 수 있다. 감마 함수는 여러 정의를 가진다:

  • $\displaystyle \Gamma(s)=\frac{1}{s}\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(1+1/n)^s}{1+s/n}$ (Euler)
  • $\displaystyle \Gamma(s)=\lim_{n\to\infty} \frac{n^sn!}{s(s+1)\cdots (s+n)}$ (Gauss)
  • $\displaystyle \Gamma(s)=\frac{e^{-\gamma s}}{s}\prod_{n=1}^\infty \left( 1+\frac{s}{n} \right)^{-1} e^{s/n}$ (Weierstrass)

reciprocal gamma function $1/\Gamma(s)$는 전해석 함수이다. Weierstrass 정의는 digamma function $\displaystyle \psi(z)=\frac{d}{dz}\log \Gamma(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$의 특수한 값을 구할 때 쓸 수 있다.

$f:(0,\ \infty)\to\R_{>0}$이 $f(1)=1,\ f(x+1)=xf(x),\ (\log f)''>0$을 만족하면 $f=\Gamma$이어야 한다. 이를 Bohr–Mollerup theorem(보어-몰러럽 정리)이라고 한다.

증명

$f(x+1)=xf(x)$이므로 $0<x<1$에서 조건을 만족하는 factorial의 확장을 얻는 것으로 충분하다. 우선 $\log f(x+1)=\log f(x)+\log x$이므로 모든 양의 정수 $n$에 대해서

$\log f(n+1+x) = \log f(x)+\log x(x+1)\cdots(x+n)$

이다. $0<x<1$로 제한했을 때 실수들이 $a<b<b+x<c$이면 $g$가 볼록 함수일 때

$\displaystyle \frac{g(b)-g(a)}{b-a}\le \frac{g(b+x)-g(b)}{(b+x)-b}\le \frac{g(c)-g(b)}{c-b}$

가 성립해야 한다. $g=\log f,\ a=n,\ b=n+1,\ c=n+2$를 대입하면

$\displaystyle \log n\le \frac{\log f(n+1+x)-\log f(n+1)}{x}\le\log(n+1)$

이다. $\log f(n+1+x)$를 연립하여 정리하면, 특히 $\log f(n+1)=\log n!$이므로

$\displaystyle 0\le \log f(x) - \log \frac{n^x n!}{x(x+1)\cdots(x+n)}\le x\log\left(1+\frac{1}{n}\right)$

이다. $n\to \infty$이면 우변이 $0$이므로 $f$는 유일하다. 그것은

$\displaystyle \log f(x) = \lim_{n\to\infty}\log \frac{n^x n!}{x(x+1)\cdots(x+n)}$

와 같다.

참고 자료

  • Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis.
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