실로우 정리｜$p$가 소수이고 $p$와 $m$이 서로소일 때 order가 $p^am$인 group은 order가 $p^a$인 subgroup이 $pk+1$개 있고 이들은 서로 conjugate이며 $m$은 $pk+1$로 나누어떨어진다.

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$p$가 소수이고 $p$와 $m$이 서로소일 때 음이 아닌 정수 $a$에 대해서 order가 $p^am$인 group $G$가 있으면

  • order가 $p^a$인 subgroup이 있다.
  • 이들은 서로 conjugate이다.
  • 이들이 $pk+1$개 있고 $m$은 $pk+1$로 나누어떨어진다.

이 subgroup들을 $G$의 Sylow $p$-subgroup(쉴로브 $p$-부분군, 실로우 $p$-부분군)이라 한다.

증명

집합 $X$가 $G$-set일 때 $\mathcal{P}(X)$도 $G$-set이다. $g\in G$에 대해서 $g\cdot_{\sigma}\varnothing = \varnothing$이고, $g\cdot_{\sigma}A = gA$이면 $G_A$의 원소는 $A$의 각 원소를 permute하는 $g$들이다. 이때 $A\subset G$이고 $A$에 $G_A$가 작용하여 $g\cdot_{\sigma}a = ga$이면 $a\in G$에서 모든 orbit들은 $G$를 분할하는 right coset들 가운데 일부이고 그 union은 $A$ 전체이다. 따라서 $|G_A|$는 $|A|$의 약수이다.

모든 $g\in G$에 대해서 $g\cdot_{\sigma} A=A$로 만드는 $A\in X$들의 집합을 $X(G)$라 하면 마찬가지로 class equation을 $\displaystyle |X|=|X(G)|+\sum_{i} |G:G_{A_i}|$와 같이 쓸 수 있다. 즉 음이 아닌 정수 $a$에 대해서 $|G|=p^a$이면 $|G|/|G_{A_i}|=p^k$이므로 $|X|\equiv |X(G)|\pmod p$이다.

집합 $X=\{A\subset G\mid |A|=p^a\}$가 $G$-set이고 $g\cdot_{\sigma}A=gA$이면 $\displaystyle |X|={p^am \choose p^a}=\frac{p^am\cdots(p^am-p^bn)\cdots(p^am-(p^a-1))}{p^a\cdots (p^a-p^bn)\cdots1}$는 $p$로 나누어떨어지지 않는다. 따라서 원소의 개수가 $p$로 나누어떨어지지 않는 orbit $G(A)$를 잡을 수 있다. $|G|=|G(A)||G_A|=p^am$에서 $|G_A|$는 $|A|$의 약수이므로 $|G_A|=p^k$이고 $p$와 $|G(A)|$가 서로소라는 가정에서 $G$의 subgroup $G_A$가 $|G_A|=p^a$이다.

$H$가 $G$의, order가 $p^a$인 subgroup이면 $g\in G$에 대해서 $g^{-1}Hg$도 $G$의, order가 $p^a$인 subgroup이다.[1] $H,\ H'$가 $G$의, order가 $p^a$인 subgroup이고 $G/H'$에 $H$가 작용하여 $h\cdot_{\sigma}gH'=hgH'$이면 $p$와 $|G/H'|=m$이 서로소이므로 $p$와 $|(G/H')(H)|=pk+m\neq 0$도 서로소이다. 즉 모든 $h\in H$에 대해서 $hgH'=gH'$인 $g\in G$를 잡을 수 있다. 이때 모든 $h\in H$에 대해서 $g^{-1}hg\in H'$이므로 $g^{-1}Hg$는 $H'$의 subgroup이다. $|g^{-1}Hg|=|H|=|H'|$이므로 $g^{-1}Hg=H'$이다.

$S$가 $G$의, order가 $p^a$인 subgroup들 전체의 집합이고 $H,\ H'\in S,\ h\in H$에 대해서 $h\cdot_{\sigma} H'=hH'h^{-1}$이면 모든 $h\in H$에 대해서 $hHh^{-1}=H$이다. 다른 $H'\in S$가 모든 $h\in H$에 대해서 $hH'h^{-1}=H'$라고 가정하면 $H$는 $G_{H'}=\{g\in G\mid gH'g^{-1}=H'\}$의 subgroup이다. $G_{H'}$는 $G$의 subgroup이고 $H,\ H'$는 $G$의, order가 $p^a$인 subgroup이므로 $H,\ H'$는 $G_{H'}$의, order가 $p^a$인 subgroup이다. 따라서 $H=gH'g^{-1}$인 $g\in G_{H'}$를 잡을 수 있고 $H'$는 $G_{H'}$의 normal subgroup이므로 $gH'g^{-1}=H'$이다. 즉 $|S(G)|=1$이고 $|S|=pk+1$이다.

$g\in G,\ H\in S$에 대해서 $g\cdot_{\sigma}H=gHg^{-1}$이면 $G$는 $S$ 위에서 transitive이다. 따라서 서로 다른 orbit이 유일하고 $|G|=|S||G_H|=p^am$이므로 $|S|$는 $m$의 약수이다.

다른 증명

order가 $p^a$인 $G$의 subgroup이 있다는 사실은 군론에서의 Cauchy's theorem, 즉 $|G|$의 소인수를 order로 가지는 원소 $g\in G$가 있다는 사실에서 유도할 수 있다. $\langle g\rangle$는 order가 $p$인 $G$의 subgroup이다.

참고 자료

  1. ↑ https://math.stackexchange.com/questions/4385605/prove-that-ghg-1-is-a-subgroup-of-g-of-the-same-order-as-h
  • 이인석. 선형대수와 군.
  • John B. Fraleigh. A First Course in Abstract Algebra.
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