위상 공간

집합 $X$의 모든 부분 집합에 boundary가 주어지면 공간 $X$에서 어떤 부분 집합이더라도 안과 밖을 나눌 수 있는 도형처럼 취급할 수 있다. boundary를 부여하는 함수 $\partial:\mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(X)$는 모든 $A\subset X$에 대해서 다음을 만족시켜야 한다:

1. 경계의 경계는 경계를 벗어나지 못한다. 즉 $\partial \varnothing=\varnothing$이고 $\partial A\subset\partial(X-A)$이고 $\partial (A\cup \partial A)\subset \partial A$이다.
2. subset의 경계는 superset의 경계를 벗어나지 못한다. 즉 $A$의 subset의 경계는 $A\cup \partial A$의 subset이다.
3. 합집합의 경계는 생기는 부분이 없으나 사라지는 부분이 있을 수 있다. 즉 $\partial(A\cup B)\subset \partial A\cup \partial B$이다.

이러한 $(X,\ \partial)$을 topological space(위상 공간)라고 한다. 집합 $X$의 각 subset의 boundary를 무엇으로 삼을지에 따라서 서로 다른 위상을 주면 서로 다른 위상 공간이다. 예를 들어 $\R^2$에서 사각형의 경계가 네 모서리인지는 주어진 위상에 따라서 다르다. 주어진 위상을 언급하지 않고 위상 공간 $\R^n$처럼 쓸 때에는 집합에 standard topology가 주어진 것이다. 문맥에 따라서 적절한 common topology들이 있으며 이들을 편의상 생략해 쓰고는 한다.

위상 공간이 있으면 대개는 위상 공간의 정의만을 생각하지 않는다. separation axiom이 성립하는지, metric에서 나온 위상인지 등을 확인할 수 있다. metric, norm, inner product 등이 주어진 vector space는 위상이 주어진 vector space라는 뜻이며, 이들은 topological vector space(위상 벡터 공간)이다. 수학이나 물리학에서 공간이라는 단어를 설명 없이 쓸 때에는 위상 공간이나 벡터 공간, 또는 위상 벡터 공간으로 이해할 수 있다.

boundary

성질들

• $\partial A\subset\partial(X-A)$의 $A$에 $X-A$를 대입하면 $\partial(X-A)\subset\partial A$이다. 즉 여집합의 경계는 일치하므로 $A\cap\partial A=\partial A$를 가정하면 $(X-A)\cap\partial A=\varnothing$이다.
• $\partial A\subset A\cup\partial A$의 $A$에 $A\cup \partial A$를 대입하면 $\partial\partial A\subset (A\cup \partial A)\cup\partial(A\cup\partial A)$이다. 첫 번째 조건을 적용하면 $\partial\partial A\subset A\cup\partial A$이고 $A$에 $X-A$를 대입하면 $\partial\partial A\subset (X-A)\cup\partial A$이므로 $\partial\partial A\subset \partial A$이다.
• $A\cap\partial A=\partial A$를 가정하면 $X-A\subset X-\partial A$이다. 두 번째 조건을 적용하면 $\partial(X-A)\subset (X-\partial A)\cup\partial(X-\partial A)$이고 $\partial A\subset (X-\partial A)\cup\partial\partial A$이다. 그런데 $\partial A\cap (X-\partial A)=\varnothing$이므로 $\partial A\subset \partial\partial A$이다. $A\cap\partial A=\partial A$일 때 $\partial\partial A=\partial A$이므로 $\partial\partial\partial A=\partial\partial A$이다. 일반적으로는 $\partial A\neq \partial (A\cup\partial A),\ \partial A\neq \partial (A-\partial A)$이다. 예를 들어 $\R$에서 $\partial \Q=\R$이고 $\partial \R=\varnothing$이다.

closure

$A\cup\partial A$를 $A$의 closure(폐포, 닫힘)라 하고 $\overline{A}$로 쓴다. boundary를 부여하는 함수로부터 closure를 부여하는 함수의 조건을 얻을 수 있다.

1. $A\subset B$를 가정하면 두 번째 조건을 적용하여 $\partial A\subset B\cup\partial B$이고 가정에 따라서 $A\cup\partial A\subset B\cup\partial B$이다. 따라서 $\overline{A}\subset\overline{B}$이다.
2. $\overline{\overline{A}}=(A\cup \partial A)\cup\partial(A\cup\partial A)$에 세 번째 조건을 적용하면 $\overline{\overline{A}}\subset A\cup\partial A\cup\partial\partial A$이고 첫 번째 조건을 적용하면 $\overline{\overline{A}}\subset\overline{A}$이다. $A\subset \overline{A}$이므로 $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$이다.
3. 세 번째 조건에 따라서 $\overline{A\cup B}\subset\overline{A}\cup\overline{B}$이다. $A\subset A\cup B,\ B\subset A\cup B$이므로 두 번째 조건을 적용하여 $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$이다.

interior, exterior, open, closed, clopen

집합 $X$가 위상 공간이면 모든 subset $A$마다 경계, 폐포, 내부, 외부를 알 수 있어야 하고, open set, closed set, clopen set인지를 판별할 수 있어야 한다. open set도 closed set도 아닌 subset은 boundary의 일부를 가지는 집합이다.

• $A-\partial A$를 $A$의 interior(내부) $A^{\circ}$, $(X-A)-\partial A$를 $A$의 exterior(외부)라고 한다.
• $A^{\circ}\subset A\subset \overline{A}$이고 $A^{\circ}\subset \left(\overline{A^{\circ}}\right)^{\circ}\subset \overline{\left(\overline{A}\right)^{\circ}}\subset \overline{A}$이다. $\left(\overline{A^{\circ}}\right)^{\circ}\subset \overline{A^{\circ}},\ \left(\overline{A^{\circ}}\right)^{\circ}\subset\left(\overline{A}\right)^{\circ}$이고 $\overline{A^{\circ}}\subset\overline{\left(\overline{A}\right)^{\circ}},\ \left(\overline{A}\right)^{\circ}\subset\overline{\left(\overline{A}\right)^{\circ}}$이다.
• $\partial A\cap A=\varnothing$일 때 $A$를 open set(열린 집합)이라고 한다. 즉 열린 집합은 boundary를 가지지 않는 집합이다.
• $\partial A\cap A=\partial A$일 때 $A$를 closed set(닫힌 집합)이라고 한다. 즉 닫힌 집합은 boundary를 온전히 가지는 집합이다.
• $\partial A=\varnothing$일 때, $A$를 clopen set이라고 한다. 즉 열린 집합이면서 닫힌 집합이면 boundary를 가질 수 없는 집합이다.

open set

위상 공간 $X$의 topology(위상)를 정의하는 방법은 여러 가지이다. boundary를 부여하는 함수 $\partial$을 $X$의 위상이라고 할 수도 있다. 그런데 boundary, open set, closed set, neighborhood, closure, interior 등 위상 공간에서 나오는 기본 요소들 가운데 동치인 조건들로 하나만 정의하면 자연스럽게 나머지 모두를 정의할 수 있다. 대개는 boundary를 가지고 있지 않은 집합, 즉 open set들의 집합을 $X$의 위상이라고 한다. 조건이 간결하며 function을 만들기보다 집합의 원소를 직접 넣는 편이 편할 때가 있다.

1. $\varnothing,\ X$는 open set이다.
2. open set의 유한 교집합은 open set이다.
3. open set의 유한, 무한 합집합은 open set이다.

De Morgan's laws에 따라서 closed set이 만족하는 조건을 알 수 있다.

1. $\varnothing,\ X$는 closed set이다. 즉 이들은 clopen이다.
2. closed set의 유한, 무한 교집합은 closed set이다.
3. closed set의 유한 합집합은 closed set이다.

교집합과 합집합에 관한 조건이 다르다는 사실은 극한과 연결지을 수 있다. $\R^n$의 열린 집합 안에서는 열린 집합을 벗어날 수 없게 하는 (작은) 움직임의 한계를 정할 수 있지만, 닫힌 집합 안에서는 경계에 있다면 움직임의 한계가 $0$일 수밖에 없다. open set을 무한 교집합하면 주어진 위상에 따라서 closed set일 수도 아닐 수도 있다.

closure로부터 closed set의 조건을 유도할 수 있음을 증명해 보자. closure를 부여하는 함수의 두 번째 조건에 따라서 $\overline{\varnothing}=\varnothing,\ \overline{X}=X$이다. 세 번째 조건을 적용하면 유한 합집합은 closed set이다. closed set $C_i$들을 유한, 무한 교집합한 결과를 집합 $C$라고 할 때 모든 $C_i$에 대해서 $C\subset C_i$이다. 첫 번째 조건을 적용하여 $\overline{C}\subset\overline{C_i}$이고 가정에 따라서 모든 $C_i$에 대해서 $\overline{C}\subset C_i$이다. 즉 $\overline{C}$는 $C_i$들을 유한, 무한 교집합한 결과인 $C$의 subset이므로 $C$는 closed set이다.

역으로 각 subset $A\subset X$에 대해서 $\mathcal{A}=\{B\subset X \mid A\subset B\}$를 생각하여 $\mathcal{A}$에 속하는 closed set들을 유한, 무한 교집합한 결과를 $A$의 closure로 정의할 수 있다. 그러면 $A$의 boundary는 $\overline{A}\cap\overline{X-A}$이다.

neighborhood

$A\subset N-\partial N$인 $N\subset X$을 $A$의 neighborhood(근방)라 하고 singleton $\{x\}$의 neighborhood들의 집합을 $\mathcal{N}_x$라 한다. neighborhood가 open set일 조건은 $A\subset N$인 open set $N$이다.

• $A\subset X$에 대해서 singleton $\{x\}\subset X$의 모든 (작은) (open) neighborhood가 $x$를 제외하고 $A$와 한 개 이상의 점을 공유할 때, 즉 $x$가 $A$에서 극한값이 될 수 있을 때 limit point(극한점)라 한다. 이러한 $x$들의 집합 $A'$를 $A$의 derived set(유도 집합, 도집합)이라고 하며 $A'\subset\overline{A}$이다. $x\in A-A'$를 $A$의 isolated point(고립점)라고 하며 singleton $\{x\}$가 open일 때 $x\in X-X'$이다.
• subset이 open인지 closed인지는 universe에 따라서 상대적이다. $B\subset X$에서 $A\subset B$가 open이라는 것은 $B\cap C=A$인 open set $C\subset X$를 잡을 수 있다는 뜻이고, closed set도 마찬가지이다. 예를 들어 $\R$의 standard topology에서 $B=\{1\}\cup (2,\ 3]$를 전체 집합처럼 생각하면 $\partial B=\varnothing,\ \partial\{1\}=\varnothing,\ \partial\{3\}=\{3\}$이다. 따라서 $\{1\}$은 $A$에서 clopen이고 isolated point이다. 여기에서는 derived set과 isolated point들의 합집합이 $\overline{A}$를 이룬다. 일반적으로는 isolated point가 boundary이거나 interior일 수 있다.
• $A\cup A'=X$일 때, 즉 $\overline{A}=X$일 때 $A$는 $X$에서 dense(조밀)라 한다. 예를 들어 $\R$의 standard topology에서 각 무리수의 open neighborhood는 주위의 유리수를 가지고, 각 유리수의 open neighborhood는 주위의 무리수를 가지므로 유리수 집합과 무리수 집합은 실수 집합에서 dense이다.

neighborhood로부터 boundary와 open set을 유도할 수 있음을 증명해 보자. 각 subset $A\subset X$에 대해서 $\mathcal{A}=\{B\subset X \mid A\subset B\}$는 relation $\subset$이 주어진 partially ordered set $\mathcal{P}(X)$의 nonempty subset으로서 다음이 성립한다.

• 모든 finite subset order에 lower bound가 존재한다. 즉 모든 $x,\ y\in\mathcal{A}$에 대해서 $z\subset x,\ z\subset y$인 $z\in\mathcal{A}$가 있다.
• $X$의 subset으로서 superset에 대해서 닫혀 있다. 즉 모든 $x\in\mathcal{A}$에 대해서 $x\subset y\subset X$이면 $y\in \mathcal{A}$이다.

이러한 $\mathcal{A}$를 $X$의 filter(필터)라고 한다. $X$의 모든 filter들의 집합을 $\mathcal{F}(X)$로 쓰면 neighborhood는 함수 $\mathcal{N}:X\to\mathcal{F}(X)$이다. $\mathcal{N}_x$는 filter의 조건을 만족시키고, 또한 모든 $N_x\in\mathcal{N}_x$는 $N_x\in\mathcal{N}_a$인 적당한 $a$들의 집합 $A\in\mathcal{N}_x$를 subset으로 가진다. 이제 모든 $N_x\in\mathcal{N_x}$에 대해서 $N_x\cap A\neq\varnothing$이면서 $N_x\cap(X-A)\neq\varnothing$인 점 $x$들의 집합을 $\partial A$로 정의할 수 있고, 모든 $x\in A$에 대해서 $A\in \mathcal{N_x}$일 때 $A$를 open set으로 정의할 수 있다.

Hausdorff space

Hausdorff는 근방을 통해서 위상을 정의하였는데 본래는 다음 조건을 만족하여야 위상 공간이라고 했다.

점을 공유하지 않는 두 근방이 존재한다. 즉 모든 점 $x,\ y$에 대해서 $x\neq y$이면 $N_x\cap N_y=\varnothing$인 $N_x,\ N_y$가 있다.

이러한 위상 공간을 Hausdorff space(하우스도르프 공간) 또는 $T_2$ space라 한다. 모든 superset들이 filter 전체를 이루는 coinitial set을 filter basis라 할 때 Hausdorff space는 모든 proper filter의 filter basis가 하나 이하의 $x$에 대해서 $\mathcal{N}_x$의 filter basis를 가진다. 즉 Hausdorff space에서 proper filter들은 limit가 존재하면 유일하다.

모든 maximal proper filter의 filter basis가 하나 이상의 $x$들에 대해서 $\mathcal{N}_x$의 filter basis를 가지는 위상 공간을 compact space라 한다. 즉 compact Hausdorff space에서 ultrafilter들은 limit가 유일하게 존재한다. compactness는 finiteness에서 discreteness를 나누어 내고 남은 성질처럼 여길 수 있다. 대개는 공간 전체를 집합들의 합집합으로 나타낼 때, 그것이 가능한 어떤 open set들의 집합이더라도 무한 합집합을 쓸 필요가 없으면 compact space라고 한다. topological property로서 다양한 종류의 compactness가 있다.

연속 함수

어떤 함수가 연속 함수인지 아닌지는 정의역과 공역에 주어진 topology에 따라서 다르다. 함수 $f:X\to Y$가 점 $a\in X$에서 연속이라는 것은

점 $f(a)\in Y$의 모든 근방 $N_{f(a)}\in\mathcal{N}_{f(a)}$에 대해서, 모든 $x\in N_a$에 대해서 $f(x)\in N_{f(a)}$인 $N_{a}\in\mathcal{N}_{a}$가 존재한다.

는 뜻이다. 여기에서 $N_{f(a)}$는 위상 공간 $Y$에 주어진 근방이고 $N_{a}$는 위상 공간 $X$에 주어진 근방이다. 마찬가지로 다른 기호들도 어떤 집합에 관한 것인지 편의상 생략해 쓰고는 한다. $f$가 정의역의 모든 점에서 연속이면 특정한 위상 공간에서 특정한 위상 공간으로 가는 continuous function(연속 함수)이다. 이는 위상 공간에서 나오는 기본 요소들 가운데 하나로 간단하게 정의할 수 있다:

• $f$는 모든 점에서 continuous이다.
• $Y$의 모든 subset $A$에 대해서 $\partial f^{-1}(A)\subset f^{-1}(\partial A)$이다.
• $X$의 모든 subset $A$에 대해서 $f(\overline{A})\subset\overline{f(A)}$이다.
• $Y$의 모든 open set $A$에 대해서 $f^{-1}(A)$는 open set이다.
• $Y$의 모든 closed set $A$에 대해서 $f^{-1}(A)$는 closed set이다.

연속 함수의 inverse function이 존재하여 inverse function도 연속 함수이면 homeomorphism(위상 동형 사상)이라고 한다. 그러한 함수가 존재하는 두 topological space $X,\ Y$를 homeomorphic(위상 동형)이라 하고 $X\cong Y$로 쓴다. 즉 연속 함수는 topological space들의 category에서 homomorphism이다.

homeomorphic의 예시로 손잡이가 달린 컵과 도넛이 널리 알려져 있지만 이는 특별한 경우이다. 직관적인 continuous deformation는 연속 함수와 다를 수 있다. 예를 들어 모든 knot은 circle과 homeomorphic이다.

metric, norm, inner product

$\R^3$의 두 점 $x,\ y$ 사이의 metric(거리)을

$d(x,\ y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}$

로 정의할 때 각 $x_0\in\R^3$과 $r>0$에 대해서 open ball $T_{(x_0,\ r)}=\{x\in\R^3\mid d(x,\ x_0)<r\}$들의 유한, 무한 합집합을 open set이라 하면 $\R^3$은 위상 공간을 이룬다. 이 위상은 base $T_{(x_0,\ r)}$들이 generate한다. 이제 norm(노름)을 Pythagorean theorem에 따라서

$\|x\|=d(x,\ 0)=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$

로 정의할 때 $T_{(x_0,\ r)}=\{x\in\R^3\mid \|x-x_0\|<r\}$들이 위상을 generate한다. 또 inner product(내적)를 polarization identity(극화 항등식)에 따라서

$\displaystyle \langle x,\ y\rangle=\frac{1}{4}(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$

로 정의할 때 $T_{(x_0,\ r)}=\{x\in\R^3\mid \sqrt{\langle x-x_0,\ x-x_0\rangle}<r\}$들이 위상을 generate한다. 이렇게 모든 inner product space는 normed space이고, 모든 normed space는 metric space이고, 모든 metric space는 topological space이다.